Рівняння Ейлера (динаміка твердого тіла)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ейлерові рівняння руху — векторні квазілінійні звичайні диференціальні рівняння першого порядку, що в класичній механіці описують обертання твердого тіла, використовуючи обертову систему координат, осі якої прикріплені до тіла і вирівняні по його головних осях інерції. Їхня загальна форма така:

де M — момент сили, що діє на тіло, I — тензор інерції, а ω — кутова швидкість щодо головних осей.

Отримання[ред.ред. код]

Для отримання рівнянь Ейлера потрібен закон збереження імпульсу і закон збереження моменту імпульсу , де  — вектор швидкості центру мас.

Збереження імпульсу вимагає, щоб Збереження моменту імпульсу щодо центру мас вимагає, щоб

Розглянемо довільний рух тіла щодо його центру мас. Спочатку спробуємо вивчати його в інерційній системі координат. У певну мить ми можемо обчислити момент імпульсу тіла як Спочатку ми, звісно, вирівнюємо нашу систему координат із головними осями тіла. Ми можемо записати

Так можна було б зробити, але складність полягає у відстежуванні у інерційній системі координат. Осі інерційної системи, хоч з початку і вирівняні з головними осями, з часом будуть змінюватись. Отже, якщо ми розглядаємо не сферу, то нам не вдасться далеко просунутись із цим підходом.

Ми сформулюємо наше рівняння у системі координат, прив'язаній до тіла. Це вимагатиме відстежувати рух тіла, але тензорі інерції не залежатиме від часу. У будь-яку мить зміна складатиметься з власне зміни в часі плюс ефект миттєвого обертання осей завдяки

Тобто,

Якщо ми вибрали головні осі, тоді ми можемо виразити момент імпульсу через момент інерції відносно головних осей. Оскільки відносно головних осей інерції тензор інерції має діагональну форму, то можна записати:

Посилання[ред.ред. код]

  • Затовський, О. В.; Олєйнік, В. П. Рух твердого тіла. onu.edu.ua. ОНУ ім. І. І. Мечникова. Процитовано 10 березня 2016.