Рівняння Пелля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Див. також статтю: Пелля.

Рівняння Пелля — діофантове рівняння вигляду:

де  — додатне ціле число, що не є точним квадратом цілого числа. Рівняння Пелля є класом діофантових рівнянь другого степеня.

Доведено, що при кожному такому значенні рівняння має задану нескінченну послідовність розв'язків. Одним із застосувань теорії рівняння Пелля є наближення ірраціонального числа раціональними з якомога меншою похибкою.

Розв'язки[ред.ред. код]

Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків

У випадку коли n не є точним квадратом існує нескінченна кількість розв'язків.

Якщо  — наближені дроби розкладу у ланцюговий дріб з періодом k, то додатні розв'язки рівняння Пелля мають вигляд:

де m — будь-яке натуральне число таке, що km є парним.

Всі додатні розв'язки рівняння Пелля можна одержати з формули:

де k — будь-яке ціле, а 1, у1) — розв'язок з найменшими додатними значеннями невідомих.

Еквівалентно розв'язки можна знайти із рекурентних співвідношень:

Зв'язок з алгебраїчною теорією чисел[ред.ред. код]

Пара (x, у) є розв'язком рівняння Пелля тоді і тільки тоді, коли норма числа у розширенні поля рівна одиниці:

Зокрема, рішенню відповідає оборотний елемент кільця . Тому, зважаючи на мультиплікативність норми, розв'язки можна множити і ділити: розв'язкам і можна поставити у відповідність розв'язки

Приклад[ред.ред. код]

Для рівняння найменшим додатним розв'язком буде пара чисел . Всі додатні розв'язки відповідно можна одержати за допомогою формули:

Якщо  — розв'язки, то розв'язками також будуть числа які можна визначити як згідно з уведеним вище добутком.

Дійсно:

Література[ред.ред. код]

  • Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — Москва: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0
  • Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291 .