Мультиплікативна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії чисел, мультиплікативна функціяарифметична функція , така що

для будь-яких взаємно простих чисел і

При виконанні першої умови, вимога рівносильно тому, що функція не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію , визначену на деякій множині , таку що

для довільних .

У теорії чисел такі функції, тобто функції , для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних , називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

для всіх простих і всіх натуральних .

Приклади[ред.ред. код]

  • Функція — число натуральних дільників натурального .
  • Функція — сума натуральних дільників натурального .
  • Функція Ейлера .
  • Функція Мебіуса .
  • Функція є сильно мультиплікативною.
  • Степенева функція є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
    • константи
    • тотожної функції
  • символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо — мультиплікативна функція, то функція

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція , визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція також мультиплікативна.

Більш того, якщо і — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

Це випливає з того, що що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d1.d2, де d1 — дільник числа n, d2 — дільник числа m. ТОді з визначень можна записати

.

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

,
,
.

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]