Мультиплікативна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У теорії чисел, мультиплікативна функціяарифметична функція f(m), така що

f(m_1 m_2) = f(m_1) f(m_2) для будь-яких взаємно простих чисел m_1 і m_2
f(1)=1

При виконанні першої умови, вимога f(1)=1 рівносильно тому, що функція f(m) не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію f, визначену на деякій множині X, таку що

f(x_1 x_2) = f(x_1) f(x_2) для довільних x_1, x_2 \in X.

У теорії чисел такі функції, тобто функції f(m), для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних m_1, m_2, називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

f(p^\alpha) = f(p)

для всіх простих p і всіх натуральних \alpha.

Приклади[ред.ред. код]

  • Функція \tau(m) — число натуральних дільників натурального m.
  • Функція \sigma(m) — сума натуральних дільників натурального m.
  • Функція Ейлера \varphi(m).
  • Функція Мебіуса \mu(m).
  • Функція \frac{\varphi(m)}{m} є сильно мультиплікативною.
  • Степенева функція \forall n\in\N, \operatorname{Id}_k(n) = n^k є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
    • константи  \forall n\in\N, 1(n) = 1
    • тотожної функції \forall n\in\N, \operatorname{Id}(n) = n
  • n\mapsto\left(\frac{n}{p}\right)символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

Властивості[ред.ред. код]

Якщо f(m) — мультиплікативна функція, то функція

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція g(m), визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція f(m) також мультиплікативна.

Більш того, якщо f(m) і g(m) — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)

Це випливає з того, що що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d1.d2, де d1 — дільник числа n, d2 — дільник числа m. ТОді з визначень можна записати

(f*g)(n \cdot m)=\sum_{d|nm}f(d)g\left(\frac{nm}{d}\right)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1d_2)g\left(\frac{n}{d_1} \cdot \frac{m}{d_2}\right).

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

(f*g)(n \cdot m)=\sum_{d_1|n}\sum_{d_2|m}f(d_1)f(d_2)g\left(\frac{n}{d_1}\right)g\left(\frac{m}{d_2}\right),
(f*g)(n.m)=\left[\sum_{d_1|n}f(d_1)g\left(\frac{n}{d_1}\right)\right] \cdot \left[\sum_{d_2|m}f(d_2)g\left(\frac{m}{d_2}\right)\right],
(f*g)(n \cdot m)=(f*g)(n)\cdot(f*g)(m).

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

\varepsilon(n) = \begin{cases}1 & n = 1 \\ 0 & n \neq 1 \end{cases}

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]