У теорії чисел, мультиплікативна функція — арифметична функція , така що
- для будь-яких взаємно простих чисел і
При виконанні першої умови, вимога рівносильно тому, що функція не рівна тотожно нулю.
Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію , визначену на деякій множині , таку що
- для довільних .
У теорії чисел такі функції, тобто функції , для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних , називаються цілком мультиплікативними.
Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо
для всіх простих і всіх натуральних .
- Функція — число натуральних дільників натурального .
- Функція — сума натуральних дільників натурального .
- Функція Ейлера .
- Функція Мебіуса .
- Функція є сильно мультиплікативною.
- Степенева функція є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
- константи
- тотожної функції
- — символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.
Якщо — мультиплікативна функція, то функція
також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція , визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція також мультиплікативна.
Більш того, якщо і — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле
Це випливає з того, що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d1.d2, де d1 — дільник числа n, d2 — дільник числа m.
Тоді з визначень можна записати
- .
Якщо f і g — мультиплікативні функції то :
- ,
- ,
- .
Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція: