Мультиплікативна функція

У теорії чисел, мультиплікативна функція — арифметична функція $f(m)$$f(m)$, така що

$f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})$$f(m_{1}m_{2})=f(m_{1})f(m_{2})$ для будь-яких взаємно простих чисел $m_{1}$$m_1$ і $m_{2}$$m_2$

$f(1)=1$$f(1)=1$

При виконанні першої умови, вимога $f(1)=1$$f(1)=1$ рівносильно тому, що функція $f(m)$$f(m)$ не рівна тотожно нулю.

Слід зазначити, що поза теорією чисел під мультиплікативною функцією розуміють будь-яку функцію $f$$f$, визначену на деякій множині $X$$X$, таку що

$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$$f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ для довільних $x_{1},x_{2}\in X$$x_{1},x_{2}\in X$.

У теорії чисел такі функції, тобто функції $f(m)$$f(m)$, для яких умова мультиплікативності виконана для всіх натуральних $m_{1},m_{2}$$m_{1},m_{2}$, називаються цілком мультиплікативними.

Мультиплікативна функція називається сильно мультиплікативною, якщо

$f(p^{\alpha })=f(p)$$f(p^{\alpha })=f(p)$

для всіх простих $p$$p$ і всіх натуральних $\alpha$$\alpha$.

Приклади

• Функція $\tau (m)$$\tau (m)$ — число натуральних дільників натурального $m$$m$.
• Функція $\sigma (m)$$\sigma (m)$ — сума натуральних дільників натурального $m$$m$.
• Функція Ейлера $\varphi (m)$$\varphi (m)$.
• Функція Мебіуса $\mu (m)$$\mu (m)$.
• Функція ${\frac {\varphi (m)}{m}}$${\frac {\varphi (m)}{m}}$ є сильно мультиплікативною.
• Степенева функція $\forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$$\forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ є цілком мультиплікативною. Зокрема це ж стосується і її важливих часткових випадків
  • константи $\forall n\in \mathbb {N} ,1(n)=1$$\forall n\in \mathbb {N} ,1(n)=1$
  • тотожної функції $\forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} (n)=n$$\forall n\in \mathbb {N} ,\operatorname {Id} (n)=n$
• $n\mapsto \left({\frac {n}{p}}\right)$$n\mapsto \left({\frac {n}{p}}\right)$ — символ Лежандра, як функція від n, при заданому простому числі p.

Властивості

Якщо $f(m)$$f(m)$ — мультиплікативна функція, то функція

$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$$g(m)=\sum _{d|m}f(d)$

також буде мультиплікативною. Навпаки, якщо функція $g(m)$$g(m)$, визначена цим співвідношенням є мультиплікативною, то і початкова функція $f(m)$$f(m)$ також мультиплікативна.

Більш того, якщо $f(m)$$f(m)$ і $g(m)$$g(m)$ — мультиплікативні функції, то мультиплікативною буде і їх згортка Діріхле

$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)$$h(m)=\sum _{d|m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)$

Це випливає з того, що що довільне число d, що ділить добуток двох взаємно простих чисел n і m однозначно записується як d=d₁.d₂, де d₁ — дільник числа n, d₂ — дільник числа m. ТОді з визначень можна записати

$(f*g)(n\cdot m)=\sum _{d|nm}f(d)g\left({\frac {nm}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\cdot {\frac {m}{d_{2}}}\right)$$(f*g)(n\cdot m)=\sum _{d|nm}f(d)g\left({\frac {nm}{d}}\right)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\cdot {\frac {m}{d_{2}}}\right)$.

Якщо f і g — мультиплікативні функції то :

$(f*g)(n\cdot m)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1})f(d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)$$(f*g)(n\cdot m)=\sum _{d_{1}|n}\sum _{d_{2}|m}f(d_{1})f(d_{2})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)$,

$(f*g)(n.m)=\left[\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)\right]\cdot \left[\sum _{d_{2}|m}f(d_{2})g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)\right]$$(f*g)(n.m)=\left[\sum _{d_{1}|n}f(d_{1})g\left({\frac {n}{d_{1}}}\right)\right]\cdot \left[\sum _{d_{2}|m}f(d_{2})g\left({\frac {m}{d_{2}}}\right)\right]$,

$(f*g)(n\cdot m)=(f*g)(n)\cdot (f*g)(m)$$(f*g)(n\cdot m)=(f*g)(n)\cdot (f*g)(m)$.

Відносно згортки Діріхле мультиплікативні функції утворюють абелеву групу, нейтральним (одиничним) елементом якої є функція:

$\varepsilon (n)={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}$$\varepsilon (n)={\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq 1\end{cases}}$

Див. також

• Арифметична функція

Література

• К. Айерлэнд, М. Роузен Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
• Чандрасекхаран К. Арифметические функции, пер. с англ., — М.: «Мир», 1975;