Стала Капрекара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Постійна Капрекара — число, рівне 6174.

Функція Капрекара[ред.ред. код]

Число 6174 має таку особливість. Виберемо довільне чотиризначне число n, більше за 1000, в якому не всі цифри однакові (всюди припускається використовування десяткової системи числення, якщо не обумовлено інше). Розмістимо цифри спочатку в порядку зростання, а потім в порядку спадання. Віднімемо від більшого числа менше. В процесі перестановки цифр і віднімання нулі слід зберегти. Результат назвемо функцією Капрекара K(n), а сам алгоритм - алгоритм Капрекара. Повторюючи цей процес з отриманими різницями, не більш ніж за сім кроків отримаємо число 6174, яке буде потім відтворювати саме себе: 7641 — 1467 = 6174.

Цю властивість числа 6174 було відкрито у 1949 році індійським математиком Д. Р. Капрекаром, на честь якого воно і отримало свою назву.

Основні властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

Для числа 3524:

5432 — 2345 = 3087
8730 — 0378 = 8352
8532 — 2358 = 6174
7641 — 1467 = 6174

Для числа 9831:

9831 — 1389 = 8442
8442 — 2448 = 5994
9954 — 4599 = 5355
5553 — 3555 = 1998
9981 — 1899 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532 — 2358 = 6174

Єдиними чотиризначними числами, для яких функція Капрекара не досягає числа 6174, є так звані репдігіти[en] , такі як 1111, 5555, 4444, …., що дають в результаті 0000 після єдиної ітерації. Всі інші чотиризначні числа зрештою приходять до 6174, якщо нулі, які містяться в цифрах, лишати, щоб число залишилось чотиризначним. Наприклад:

2111 — 1112 = 0999
9990 — 0999 = 8991 (замість 999—999 = 0)
9981 — 1899 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532 — 2358 = 6174


Чому саме 6174?[ред.ред. код]

Розв'язування за допомогою лінійних рівнянь

Цифри довільного чотиризначного числа можуть бути розташовані в порядку спадання і таким чином створювати більше число, і в порядку зростання, створюючи менше число. Тоді для цифр a,b,c,d, таких що

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0,

і a,b,c,d не всі рівні між собою, більшим числом буде abcd, а меншим - dcba. Ми можемо порахувати результат функції Капрекара, використовуючи стандартний метод віднімання в стовпчик

_ a b c d
  d c b a
  ———————
  A B C D

Це дасть нам наступні співвідношення

D = 10 + d - a (в силу того, що a > d)
C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (в силу того, що b > c - 1)
B = b - 1 - c (в силу того, що b > c)
A = a - d

Для цих чисел виконуються нерівності

a>b>c>d

Ця процедура буде повторюватися за алгоритмом Капрекара, поки різницю ABCD не можна буде записати за допомогою початкових чотирьох цифр a,b,c,d. Можна знайти розв'язок системи рівнянь, перебираючи всі можливі комбінації {a,b,c,d} і перевіряючи, чи задовольняють вони вище вказаним співвідношенням. Кожна з 4! = 24 комбінацій дає систему чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими, тому розв'язок для a, b, с, d існує за теоремою Кронекера — Капеллі. Виявляється, що тільки одна з цих комбінацій дає цілі розв'язки, які задовольняють 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, і це ABCD = bdac. Тоді розв'язком системи рівнянь буде a=7, b=6, c=4 і d=1, а це означає, що ABCD = 6174. Інших цілих розв'язків для цієї системи не існує.


Кількість ітерацій[ред.ред. код]

За допомогою комп'ютера можна швидко порахувати, яка кількість ітерацій, за яку чотиризначні числа від 1000 до 9999 дійдуть до числа 6174. Нижче приведена таблиця відповідних результатів, які були підраховані за допомогою PascalABC.

Кількість ітерацій Кількість чисел
Виключення 9
1 357
2 519
3 2124
4 1124
5 1379
6 1508
7 1980

Виключеннями вважаються числа з усіма однаковими цифрами (1111, 2222, ...), бо для них на першому ж кроці алгоритму Капрекара отримаємо нуль.

Графічне представлення[ред.ред. код]

Ми з'ясували, що максимальна кількість ітерацій в алгоритмі Капрекара - сім. Призначимо конкретний колір для кожної можливої кількості ітерацій: 0 - білий, 1 - жовтий, 2 - зелений, 3 - бірюзовий, 4 - блакитний, 5 - синій, 6 - рожевий, 7 - червоний. При чому вважатимемо, що кількості кроків 0 відповідають числа-виключення (0000, 1111, 2222, 3333, ...).

Colors of iterations

Якщо ми зобразимо числа від 0000 до 9999 у вигляді таблиці 100 x 100 і позначимо кількість ітерацій, що приводить до 6174, відповідним кольором, то отримаємо таку таблицю:

Colored iterations


Яким шляхом досягається 6174?[ред.ред. код]

Візьмемо чотиризначне число abcd, таке що 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Порахуємо першу різницю за алгоритмом Капрекара: від більшого числа 1000a+100b+10c+d віднімемо менше число 1000d+100c+10b+a:

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a) = 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a) = 999(a-d) + 90(b-c).

Число (a-d) набуває значень від 1 до 9, а число (b-c) - від 0 до 9. Перебираючи всі комбінації, можна побачити всі можливі результати першого кроку алгоритму Капрекара.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 999 1998 2997 3996 4995 5994 6993 7992 8991
1 1089 2088 3087 4086 5085 6084 7083 8082 9081
2 1179 2178 3177 4176 5175 6174 7173 8172 9171
3 1269 2268 3267 4266 5265 6264 7263 8262 9261
4 1359 2358 3357 4356 5355 6354 7353 8352 9351
5 1449 2448 3447 4446 5445 6444 7443 8442 9441
6 1539 2538 3537 4536 5535 6534 7533 8532 9531
7 1629 2628 3627 4626 5625 6624 7623 8622 9621
8 1719 2718 3717 4716 5715 6714 7713 8712 9711
9 1809 2808 3807 4806 5805 6804 7803 8802 9801

Нас цікавлять тільки ті числа, всі цифри яких не однакові, а також a ≥ b ≥ c ≥ d, в силу цього розглядатимемо тільки ті числа, для яких (a-d) ≥ (b-c). Тому можна опустити частину чисел в таблиці (ті, що викреслені), бо для цих чисел виконується нерівність (a-d) < (b-c). Тепер розташуємо цифри в числах у порядку спадання, щоб отримати максимальні числа виду abcd, 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, для яких знову застосуємо алгоритм Капрекара.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 9990 9981 9972 9963 9954 9954 9963 9972 9981
1 9810 8820 8730 8640 8550 8640 8730 8820 9810
2 8721 7731 7641 7551 7641 7731 8721 9711
3 7632 6642 6552 6642 7632 8622 9621
4 6543 5553 6543 7533 8532 9531
5 5544 6444 7443 8442 9441
6 6543 7533 8532 9531
7 7632 8622 9621
8 8721 9711
9 9810

Викреслюємо ті числа, які повторюються, і, врешті, залишається 30 чисел, які знову перетворюємо, як і попередні; продовжуємо процес. На наступному малюнку показано, як ці числа приходять до 6174. Легко бачити, що максимальна кількість ітерацій дорівнює семи.

Шлях

Інші властивості[ред.ред. код]

Зазначимо, що на кожній ітерації два числа, що віднімаються одне від одного, мають однакову суму цифр, таким чином і однакову остачу за модулем 9. З цього випливає, що результат кожної ітерації буде кратний 9.

6174 — число харшад, оскільки воно ділиться на суму своїх цифр:

6174 = (6 + 1 + 7 + 4) × 343.

6174 — практичне число[en], оскільки довільне число, менше за 6174, можна подати у вигляді суми різних дільників числа 6174. Найближчі числа з такою властивістю — 6160, 6162, 6180, 6188. Крім того, 6174 — число Цумкелера (англ. Zumkeller number), оскільки множину дільників числа 6174 можна розбити на дві підмножини з рівними сумами (7800).

Не існує натурального числа, при діленні якого на суму його цифр виходить 6174. Найближчі числа з такою властивістю — 6123, 6150, 6185, 6189.

Число 6174 можна представити у вигляді суми трьох перших натуральних степенів числа 18:

18³ + 18² + 18 = 5832 + 324 + 18 = 6174.

Сума квадратів простих множників числа 6174 — точний квадрат:

2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13².

Узагальнення[ред.ред. код]

Серед тризначних чисел аналогічною властивістю володіє 495 (процедура сходиться до нього максимум через шість ітерацій для довільного тризначного числа з різними цифрами). Для чисел з більшою, ніж 4, кількістю знаків, перетворення Капрекара в більшості випадків рано чи пізно приводить до циклічних повторень чисел, але не до нерухомої точки n = K(n). Для п'ятизначних чисел нерухомої точки не існує. Є два шестизначных числа, які є нерухомими точками перетворення Капрекара (549 945 і 631 764), семизначных чисел з такою властивістю не існує.

Легко довести безпосередньою перевіркою, що довільне число вигляду 633…331766…664 (де кількість цифр в послідовностях шісток і трійок однакова) є нерухомою точкою n = K(n). Сама постійна Капрекара теж є числом цього вигляду. Однак не всяка нерухома точка може бути записана в такому вигляді.

Посилання[ред.ред. код]

  1. http://arabale.com/blog/2014/4/29/the-mystery-and-music-of-kaprekar-constant-6174
  2. Yutaka Nishiyama. The Weirdness of Number 6174
  3. Kaprekar DR (1955). An Interesting Property of the Number 6174. Scripta Mathematica, 15:244-245.
  4. Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)
  5. Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)
  6. https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174