Стала Капрекара

Стала Капрекара
Названо на честь	D. R. Kaprekard
Числове значення	6174, 495, 0, 549 945, 631 764, 63 317 664 і 97 508 421
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Стала Капрекара у Вікісховищі

Постійна Капрекара — число, рівне 6174.

Функція Капрекара

Число 6174 має таку особливість. Виберемо довільне чотиризначне число n, більше за 1000, в якому не всі цифри однакові (всюди припускається використовування десяткової системи числення, якщо не обумовлено інше). Розмістимо цифри спочатку в порядку зростання, а потім в порядку спадання. Віднімемо від більшого числа менше. В процесі перестановки цифр і віднімання нулі слід зберегти. Результат назвемо функцією Капрекара K(n), а сам алгоритм - алгоритм Капрекара. Повторюючи цей процес з отриманими різницями, не більш ніж за сім кроків отримаємо число 6174, яке буде потім відтворювати саме себе: 7641 — 1467 = 6174.

Цю властивість числа 6174 було відкрито у 1949 році індійським математиком Д. Р. Капрекаром, на честь якого воно і отримало свою назву.

Основні властивості

Приклади

Для числа 3524:

5432 — 2345 = 3087

8730 — 0378 = 8352

8532 — 2358 = 6174

7641 — 1467 = 6174

Для числа 9831:

9831 — 1389 = 8442

8442 — 2448 = 5994

9954 — 4599 = 5355

5553 — 3555 = 1998

9981 — 1899 = 8082

8820 — 0288 = 8532

8532 — 2358 = 6174

Єдиними чотиризначними числами, для яких функція Капрекара не досягає числа 6174, є так звані репдігіти , такі як 1111, 5555, 4444, …., що дають в результаті 0000 після єдиної ітерації. Всі інші чотиризначні числа зрештою приходять до 6174, якщо нулі, які містяться в цифрах, лишати, щоб число залишилось чотиризначним. Наприклад:

2111 — 1112 = 0999

9990 — 0999 = 8991 (замість 999—999 = 0)

9981 — 1899 = 8082

8820 — 0288 = 8532

8532 — 2358 = 6174

Чому саме 6174?

Розв'язування за допомогою лінійних рівнянь

Цифри довільного чотиризначного числа можуть бути розташовані в порядку спадання і таким чином створювати більше число, і в порядку зростання, створюючи менше число. Тоді для цифр a,b,c,d, таких що

9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0,

і a,b,c,d не всі рівні між собою, більшим числом буде abcd, а меншим - dcba. Ми можемо порахувати результат функції Капрекара, використовуючи стандартний метод віднімання в стовпчик

_ a b c d
  d c b a
  ———————
  A B C D

Це дасть нам наступні співвідношення

D = 10 + d - a (в силу того, що a > d)

C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (в силу того, що b > c - 1)

B = b - 1 - c (в силу того, що b > c)

A = a - d

Для цих чисел виконуються нерівності

a>b>c>d

Ця процедура буде повторюватися за алгоритмом Капрекара, поки різницю ABCD не можна буде записати за допомогою початкових чотирьох цифр a,b,c,d. Можна знайти розв'язок системи рівнянь, перебираючи всі можливі комбінації {a,b,c,d} і перевіряючи, чи задовольняють вони вище вказаним співвідношенням. Кожна з 4! = 24 комбінацій дає систему чотирьох лінійних алгебраїчних рівнянь з чотирма невідомими, тому розв'язок для a, b, с, d існує за теоремою Кронекера — Капеллі. Виявляється, що тільки одна з цих комбінацій дає цілі розв'язки, які задовольняють 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, і це ABCD = bdac. Тоді розв'язком системи рівнянь буде a=7, b=6, c=4 і d=1, а це означає, що ABCD = 6174. Інших цілих розв'язків для цієї системи не існує.

Кількість ітерацій

За допомогою комп'ютера можна швидко порахувати, яка кількість ітерацій, за яку чотиризначні числа від 1000 до 9999 дійдуть до числа 6174. Нижче приведена таблиця відповідних результатів, які були підраховані за допомогою PascalABC.

Кількість ітерацій	Кількість чисел
Виключення	9
1	357
2	519
3	2124
4	1124
5	1379
6	1508
7	1980

Виключеннями вважаються числа з усіма однаковими цифрами (1111, 2222, ...), бо для них на першому ж кроці алгоритму Капрекара отримаємо нуль.

Графічне представлення

Ми з'ясували, що максимальна кількість ітерацій в алгоритмі Капрекара - сім. Призначимо конкретний колір для кожної можливої кількості ітерацій: 0 - білий, 1 - жовтий, 2 - зелений, 3 - бірюзовий, 4 - блакитний, 5 - синій, 6 - рожевий, 7 - червоний. При чому вважатимемо, що кількості кроків 0 відповідають числа-виключення (0000, 1111, 2222, 3333, ...).

Якщо ми зобразимо числа від 0000 до 9999 у вигляді таблиці 100 x 100 і позначимо кількість ітерацій, що приводить до 6174, відповідним кольором, то отримаємо таку таблицю:

Яким шляхом досягається 6174?

Візьмемо чотиризначне число abcd, таке що 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Порахуємо першу різницю за алгоритмом Капрекара: від більшого числа 1000a+100b+10c+d віднімемо менше число 1000d+100c+10b+a:

1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a) = 1000(a-d) + 100(b-c) + 10(c-b) + (d-a) = 999(a-d) + 90(b-c).

Число (a-d) набуває значень від 1 до 9, а число (b-c) - від 0 до 9. Перебираючи всі комбінації, можна побачити всі можливі результати першого кроку алгоритму Капрекара.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	999	1998	2997	3996	4995	5994	6993	7992	8991
1	1089	2088	3087	4086	5085	6084	7083	8082	9081
2	1179	2178	3177	4176	5175	6174	7173	8172	9171
3	1269	2268	3267	4266	5265	6264	7263	8262	9261
4	1359	2358	3357	4356	5355	6354	7353	8352	9351
5	1449	2448	3447	4446	5445	6444	7443	8442	9441
6	1539	2538	3537	4536	5535	6534	7533	8532	9531
7	1629	2628	3627	4626	5625	6624	7623	8622	9621
8	1719	2718	3717	4716	5715	6714	7713	8712	9711
9	1809	2808	3807	4806	5805	6804	7803	8802	9801

Нас цікавлять тільки ті числа, всі цифри яких не однакові, а також a ≥ b ≥ c ≥ d, в силу цього розглядатимемо тільки ті числа, для яких (a-d) ≥ (b-c). Тому можна опустити частину чисел в таблиці (ті, що викреслені), бо для цих чисел виконується нерівність (a-d) < (b-c). Тепер розташуємо цифри в числах у порядку спадання, щоб отримати максимальні числа виду abcd, 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0, для яких знову застосуємо алгоритм Капрекара.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	9990	9981	9972	9963	9954	9954	9963	9972	9981
1	9810	8820	8730	8640	8550	8640	8730	8820	9810
2		8721	7731	7641	7551	7641	7731	8721	9711
3			7632	6642	6552	6642	7632	8622	9621
4				6543	5553	6543	7533	8532	9531
5					5544	6444	7443	8442	9441
6						6543	7533	8532	9531
7							7632	8622	9621
8								8721	9711
9									9810

Викреслюємо ті числа, які повторюються, і, врешті, залишається 30 чисел, які знову перетворюємо, як і попередні; продовжуємо процес. На наступному малюнку показано, як ці числа приходять до 6174. Легко бачити, що максимальна кількість ітерацій дорівнює семи.

Інші властивості

Зазначимо, що на кожній ітерації два числа, що віднімаються одне від одного, мають однакову суму цифр, таким чином і однакову остачу за модулем 9. З цього випливає, що результат кожної ітерації буде кратний 9.

6174 — число харшад, оскільки воно ділиться на суму своїх цифр:

6174 = (6 + 1 + 7 + 4) × 343.

6174 — практичне число, оскільки довільне число, менше за 6174, можна подати у вигляді суми різних дільників числа 6174. Найближчі числа з такою властивістю — 6160, 6162, 6180, 6188. Крім того, 6174 — число Цумкелера (англ. Zumkeller number), оскільки множину дільників числа 6174 можна розбити на дві підмножини з рівними сумами (7800).

Не існує натурального числа, при діленні якого на суму його цифр виходить 6174. Найближчі числа з такою властивістю — 6123, 6150, 6185, 6189.

Число 6174 можна представити у вигляді суми трьох перших натуральних степенів числа 18:

18³ + 18² + 18 = 5832 + 324 + 18 = 6174.

Сума квадратів простих множників числа 6174 — точний квадрат:

2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13².

Узагальнення

Серед тризначних чисел аналогічною властивістю володіє 495 (процедура сходиться до нього максимум через шість ітерацій для довільного тризначного числа з різними цифрами). Для чисел з більшою, ніж 4, кількістю знаків, перетворення Капрекара в більшості випадків рано чи пізно приводить до циклічних повторень чисел, але не до нерухомої точки n = K(n). Для п'ятизначних чисел нерухомої точки не існує. Є два шестизначных числа, які є нерухомими точками перетворення Капрекара (549 945 і 631 764), семизначных чисел з такою властивістю не існує.

Легко довести безпосередньою перевіркою, що довільне число вигляду 633…331766…664 (де кількість цифр в послідовностях шісток і трійок однакова) є нерухомою точкою n = K(n). Сама постійна Капрекара теж є числом цього вигляду. Однак не всяка нерухома точка може бути записана в такому вигляді.

Посилання

1. http://arabale.com/blog/2014/4/29/the-mystery-and-music-of-kaprekar-constant-6174^{[недоступне посилання з липня 2019]}
2. Yutaka Nishiyama. The Weirdness of Number 6174
3. Kaprekar DR (1955). An Interesting Property of the Number 6174. Scripta Mathematica, 15:244-245.
4. Kaprekar, D. R., "Another Solitaire Game", Scripta Mathematica, vol 15, pp 244-245 (1949)
5. Lines, Malcolm E., A number for your thoughts: facts and speculations about numbers..., Bristol: Hilger (1986)
6. https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174^{[недоступне посилання з липня 2019]}