Теорема Кронекера — Капеллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Кронекера — Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці

Причому система має єдиний розв'язок, якщо ранг дорівнює кількості невідомих, і нескінченно багато розв'язків, якщо ранг менше кількості невідомих.

Необхідність[ред.ред. код]

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: такий, що Тобто, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці

Отже

Достатність[ред.ред. код]

Нехай Візьмемо у матриці будь-який базисний мінор. Так як , то він буде базисним мінором і для матриці

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Джерела[ред.ред. код]