Теорема Кронекера — Капеллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Кронекера - Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

A\bold{x}=\bold{b}.

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці \ A дорівнює рангу її розширеної матриці \ B=[A | \bold{b}].

Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.

Необхідність[ред.ред. код]

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: \ x_1, \dots, x_n такі, що \ \bold{b} = x_1 a_1 + \dots + x_n a_n. Тобто, стовпець \ \bold{b} є лінійною комбінацією стовпців матриці \ A.

Отже \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B.

Достатність[ред.ред. код]

Нехай \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B = r. Візьмемо в матриці \ A будь-який базисний мінор. Так як \operatorname{rank} B = r , то він буде базисним мінором і для матриці \ B.

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці \ B буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці \ A.

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці \ A, коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

Джерела[ред.ред. код]