Десяткова система числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Десяткова система числення — це позиційна система числення із основою 10. Кожне число в якій записується за допомогою 10-ти символів, цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів десятки у цьому числі.

Наприклад: 123456 = 1·105 + 2·104 + 3·103 + 4·102 + 5·101 + 6·100

Дробова частина числа формується за таким самим принципом, тільки позиція цифри в дробовій частині відраховується від коми зліва направо починаючи з 1 і береться зі знаком "-".

Наприклад: 123,456 = 1·102 + 2·101 + 3·100 + 4·10-1 + 5·10-2 + 6·10-3

Визначення[ред.ред. код]

Один десятковий розряд в десятковій системі числення іноді називають декадою. У цифровій електроніці одному десятковому розряду десяткової системи числення відповідає один десятковий тригер.

Ціле число x в десятковій системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації ступенів числа 10:

, де  — це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівності

Зазвичай для ненульового числа x вимагають, щоб старша цифра в десятковому поданні x була також ненульовою. Наприклад, число сто три представляється в десятковій системі числення у вигляді :

За допомогою n позицій в десятковій системі числення можна записати цілі числа від 0 до , тобто, всього різних чисел.

Дробові числа записуються у вигляді рядка цифр з роздільником десяткова кома, званої десятковим дробом:

де n — число розрядів цілої частини числа, m — число розрядів дробової частини числа.

Двійково-десяткове кодування[ред.ред. код]

У двійкових комп'ютерах застосовують двійково-десяткове кодування десяткових цифр, при цьому для однієї двійкової-десяткової цифри відводиться чотири двійкових розряди (двійкова тетрада). Двійковій-десяткові числа вимагають більшої кількості бітів для свого зберігання Так, чотири двійкових розряди мають 16 станів, і при двійково-десятковому кодуванні 6 з 16 станів двійкової тетради не використовуються.

Таблиця додавання в десятковій системі числення[ред.ред. код]

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Таблиця множення в десятковій системі[ред.ред. код]

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Історія[ред.ред. код]

Десяткова непозиційна система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр (від 1 до 1 000 000) виникла в другій половині третього тисячоліття до н. е. в Стародавньому Єгипті (єгипетська система числення).

В іншій великій цивілізації — вавилонськійз її шістдесятковою системою — за дві тисячі років до н. е. всередині шестидесятеричной розрядів використовувалася позиційна десяткова система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр. Єгипетська десяткова система вплинула на аналогічну систему в перших європейських системах письма, таких як критські ієрогліфи, лінійне письмо А и лінійне письмо Б.

Найдавніший відомий запис позиційної десяткової системи виявлено в Індії в 595 р. Нуль в той час застосовувався не тільки в Індії, але і в Китаї. У цих старовинних системах для запису однакового числа використовувалися символи, поруч з якими додатково позначали, в якому розряді вони стоять. Потім перестали помічати розряди, але число все одно можна прочитати, так як у кожного розряду є своя позиція. А якщо позиція порожня, її потрібно позначити нулем. У пізніх вавилонських текстах такий знак став з'являтися, але в кінці числа його не ставили. Лише в Індії нуль остаточно зайняв своє місце, цей запис поширився потім по всьому світу.

Індійська нумерація прийшла спочатку в арабські країни, потім і в Західну Європу. Про неї розповів середньоазіатський математик Аль-Хорезміі. Прості і зручні правила додавання і віднімання чисел, записаних в позиційній системі, зробили його особливо популярним. А оскільки праця Аль-Хорезмі була написана арабською, то за індійської нумерацією в Європі закріпилося неправильна назва - «арабська» (арабські цифри).

Див. також[ред.ред. код]