Тензорне поле

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензорне поле — це відображення, яке кожній точці простору ставить у відповідність тензор.

Визначення[ред.ред. код]

Формально тензорне поле можна визначити кількома способами.

Визначення через поняття структури на різноманітті[ред.ред. код]

Використовуючи основне поняття диференціальної геометрії — структура на многовиді, — можна дати наступне визначення:

Нехай , і  — простір тензорів типу з природним тензорним представленням групи , тоді структура типу є лінійною структурою першу порядку і називається тензорним полем (або тензорною структурою) типу .

Визначення через поняття тензорного розшарування[ред.ред. код]

При визначенні тензорного поля можна відштовхуватися від поняття тензорного розшарування.

Тензорне поле — це перетин тензорного розшарування на диференційовному многовиді , ізоморфного в загальному випадку тензорному добутку дотичних та кодотичних розшарувань

Нестрогі визначення[ред.ред. код]

Менш формально тензорне поле можна розглядати як відображення, яке кожній точці розглянутого многовиду ставить у відповідність тензор постійної валентності.

Область застосування[ред.ред. код]

Поняття тензорного поля природним чином виникає в механіці та фізиці суцільних середовищ при описі анізотропних середовищ. Поняття тензорного поля знаходить застосування у всіх прикладних науках, де такі середовища розглядаються і вивчаються. Воно входить у математичний апарат загальної та спеціальної теорії відносності.

Розширене тензорне поле[ред.ред. код]

Поняття розширеного тензорного поля виникає в результаті розширення поняття тензорного поля у викладеному вище сенсі.

Нестрогі означення[ред.ред. код]

Простіше за все розуміти таке розширення виходячи з нестрогого визначення, згідно з яким тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці многовиду деякий тензор фіксованої валентності , віднесений до цієї точки . Нехай тепер  — деякий інший многовид, який є лінійним розшаруванням над , і нехай  — канонічна проекція для такого многовиду. Тоді розширене тензорне поле — це відображення, яке ставить у відповідність кожній точці у многовиді деякий тензор фіксованого валентності на віднесений до точки .

Література[ред.ред. код]