Ізоморфізм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ізоморфізм (грец. ἴσος - однаковий, грец. μορφή - форма) — бієктивний гомоморфізм.

Ізоморфізм — це дуже загальне поняття , яке використовується в різних розділах математики. Тобто, якщо задані дві математичні структури одного виду (групи, кільця, модулі, поля, векторні простори), то взаємно-однозначне відображення (бієкція) елементів однієї математичної структури на іншу, що зберігатиме структуру, є ізоморфізмом.

Абстрактна алгебра[ред.ред. код]

Теореми про ізоморфізм[ред.ред. код]

Теореми про ізоморфізм в алгебрі — ряд теорем, які пов'язують поняття фактор, гомоморфізма та під-об'єкту. Твердженням теорем є ізоморфізм деякої пари груп, кілець, модулів, лінійних просторів, алгебр Лі або інших алгебраїчних структур (в залежності від області астосування). Зазвичай нараховується три теореми про ізоморфізм, які називаються Першою (також основна теорема про гомоморфізм), Друга та Третя. Хоча подібні теореми досить легко витікають з визначення чинника і честь їх відкриття нікому не приписується, вважається, що найбільш загальні формулювання дала Еммі Нетер. Теореми про ізоморфізм абелевих груп і лінійних просторів є частковим випадком теорем для модулів.

Групи[ред.ред. код]

Ізоморфізм групбієктивний гомоморфізм груп. Нехай G та H — дві групи. Бієкція f:G\to H називається ізоморфізмом, якщо для довільних a,\;b\in G

f(a) f(b)=f(ab).

Якщо група є топологічною, додається умова гомеоморфності відповідних топологічних просторів [1]

Докладніше: Ізоморфізм груп

Поля[ред.ред. код]

Нехай F_1 та F_2 — поля. Бієкція f:F_1\to F_2 називається ізоморфізмом, якщо для a,b\in F_1 виконується

  1. f(a) + f(b)=f(a + b),
  2. f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b).

Ізоморфізм векторних просторів [ред.ред. код]

Нехай V і W - довільні векторні простори над полем K . Гомоморфізмом називають ізоморфізмом векторного простору V у векторний простір W , якщо відображення f є бієкцією (тобто взаємно однозначною відповідністю).

Теорія категорій[ред.ред. код]

Ізоморфізм в довільній категорії є обернений морфізм, тобто морфізм j, для якого існує такий морфізм j-1, що добуток

j-1j =  jj-1 = e - одиничний морфізм.

Теорія графів[ред.ред. код]

Докладніше: Ізоморфізм графів

Граф G називається ізоморфним графу H, якщо існує бієкція f із множини вершин графу G в множину вершин графу H, що має наступну властивість: якщо в графа G є ребро із вершини A в вершину B, то в графа H повинно бути ребро із вершини f(A) в вершину f(B) і навпаки — якщо в графа H є ребро із вершини A в вершину B, то в графа G повинно бути ребро із вершини f^{-1}(A) в вершину f^{-1}(B). У випадку орієнтованого графа ця бієкція також повинна зберігати орієнтацію ребра. У випадку зваженого графа бієкція також повинна зберігати вагу ребра. В теорії складності обчислень до цього часу залишається відкритим питання про складність задачі ізоморфності графів. На даний момент не доведена ні її належність класу P, ні її NP - повнота.

Ізоморфні об'єкти[ред.ред. код]

Об'єкти, між якими існує ізоморфізм називаються ізоморфними. Класичним прикладом ізоморфних систем можуть служити множина \mathbb R всіх дійсних чисел з певною на ньому операцією додавання і множина \mathbb R_+ позитивних дійсних чисел із заданою на ньому операцією множення. Відображення x\mapsto \exp(x) в цьому випадку є ізоморфізмом.

Теорія операторів/Функціональний аналіз[ред.ред. код]

Обмежений лінійний оператор T між нормованими просторами називається ізоморфізмом, якщо існує позитивне дійсне число c таке, що \lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert для всіх векторів x. Будь-який ізоморфізм є взаємно-однозначним. Говорять, що два нормовані простори є ізоморфними, якщо знайдеться сюр'єктивний ізоморфізм з одного з них на друге.

Ізоморфізм в інформатиці[ред.ред. код]

Поняття ізоморфізм має важливе значення при аналізі інформаційних процесів. Це обумовлено тим, що сигнал представляє собою безліч станів свого носія, ізоморфне множині станів джерел. Ізоморфне відношення безлічі станів носія інформації до безлічі джерел, що визначає лише загальну упорядкованість двух множин, робить сигнал кодом джерела інформації. Завдяки кодуванню проводиться переклад упорядкованості станів джерела в певну впорядкованість носія. Наприклад, безліч точок звукової доріжки на платівці, впорядковане в просторі, являє собою код безлічі станів звукового тиску, упорядкованого в часі. Таким чином, завдяки ізоморфізму, інформація несе відомості про своє джерело.

Проблема ізоморфізму[ред.ред. код]

Проблема ізоморфізму - задача пошуку алгоритму, що дозволяє по будь-якій парі ефективно заданих алгебраїчних систем з даного класу встановити, ізоморфні вони чи ні. Часткова проблема ізоморфізму для фіксованої алгебраїчної системи А полягає у відшуканні алгоритму, який розпізнає по ефективному завданню алгебраїчні системи з розглянутого класу, ізоморфна вона системі А чи ні. Позитивне рішення (часткової) проблему ізоморфізму полягає у вказівці шуканого алгоритму (проблема ізоморфізму має розв′язок), негативне - в доведенні того, що шуканого алгоритму немає (проблема ізоморфізму немає розв′язку). Зазвичай проблема ізоморфізму ставиться для алгебр, що задаються твірними й визначальними співвідношеннями. Для багатьох важливих класів алгебр проблема ізоморфізму нерозв′язна.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

Ізоморфізм алгебраїчної системи на себе називається автоморфізмом.

Історія[ред.ред. код]

Поняття ізоморфізм виникло в математиці стосовно до конкретних алгебраїчних систем і було поширене на більш широкий клас математичних структур.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

  • Деяка загальна теорія, уточнююча поняття ізоморфізму (і інших близьких понять) була запропонована групою Бурбаки в їх книзі "Теорія множин" (Глава 4. Структури).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Л.С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392

Джерела[ред.ред. код]