Теорема Дворецького

Теоре́ма Дворе́цького — стверджує, що кожна центрально-симетрична опукла множина досить високої розмірності має перетин, близький до еліпсоїда.

Довів на початку 1960-х років Ар'я Дворецький як відповідь на питання Александра Гротендіка. У 1970-х роках Віталій Мільман знайшов альтернативне доведення, яке стало однією з початкових точок для розвитку принципу концентрації міри та асимптотичного геометричного аналізу .

Формулювання

Для будь-якого натурального числа $k$ і кожного $\varepsilon >0$ існує таке натуральне число $K$, що якщо $(X,\|{*}\|)$ — нормований простір розмірності $K$, то існує підпростір $E\subset X$ розмірності $k$ та додатна квадратична форма $Q$ на $E$, така, що:

$\|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|$

для будь-якого $x\in E$.