Теорема Коші — Адамара

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Коші — Адамара — важливий результат в дійсному і комплексному аналізі про радіус збіжності степеневих рядів. Теорема названа на честь Огюстена Коші і Жака Адамара.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай маємо деякий степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами:

і — його радіус збіжності.

Тоді справедлива формула:

де позначає верхню границю.

Зокрема якщо то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж то ряд є збіжним лише в нулі.

Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що степеневий ряд збігається для і розбігається для . Тут визначене через границю в твердженні теореми.

Нехай і позначимо Тоді для довільного , існує лише скінченна підмножина чисел для яких . Отож для всіх окрім деякої скінченної кількості, тому ряд збігається якщо .

Навпаки для , для нескінченної кількості , тож якщо , ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0. Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]