Теорема Лапласа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоре́ма Лапла́са (розклад Лапласа) — одна з теорем в теорії матриць. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа, якому приписують доведення цієї теореми в 1772 році, хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.

Теорема[ред.ред. код]

Нехай  — квадратна матриця розміру в якій вибрано довільні рядків.

Тоді визначник матриці рівний сумі всіляких добутків мінорів -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців

Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати стовпців з , тобто біноміальному коефіцієнту .

Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.

Дана теорема має наступні застосування.

Розклад визначника по рядку (стовпцю)[ред.ред. код]

Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа — розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє представити визначник квадратної матриці у вигляді суми добутків елементів будь-якого її рядка або стовпця на їх алгебраїчне доповнення.

Нехай  — квадратна матриця розміру . Нехай також заданий деякий номер її рядка або номер її стовпця При мінорами будуть самі елементи цього рядка чи стовпця.

Визначник може бути обчислений за формулами:

Розклад по -му рядку:

Розклад по -му стовпцю:

де  — алгебраїчне доповнення до елемента, розташованого в рядку з номером та стовпці з номером .

Фальшивий розклад[ред.ред. код]

Сума добутків усіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Приклади[ред.ред. код]

Розглянемо матрицю

Визначник матриці обчислимо за допомогою розкладу Лапласа по першому рядку:

Застосувавши розклад Лапласа по другому стовпцю отримаємо той самий результат:

Література[ред.ред. код]