Алгебраїчне доповнення

Нехай $\ A=(a_{ij})$ — квадратна матриця порядку $\ n$, в якій вибрано:

• довільні $\ k$ рядків з номерами $\ i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}$ та
• довільні $\ k$ стовпців з номерами $\ j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}.$

Визначення

Алгебраїчне доповнення мінора $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ визначається так:

$A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}\;{\overline {M}}_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

де

$\ p=i_{1}+\ldots +i_{k},\quad q=j_{1}+\ldots +j_{k},$

${\overline {M}}_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ — доповнювальний мінор.

Алгебраїчним доповненням елемента $\ a_{ij}$ називають мінор цього елемента, взятий зі знаком $\ (-1)^{i+j},$ тобто

$\ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Приклади

• Мінор $\ M_{23}$ квадратної матриці $\ A$ — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:

$A={\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\,\\\,\,\,3&0&5\,\\-1&9&\!11\,\\\end{pmatrix}},\qquad M_{23}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{vmatrix}}$ $\longrightarrow$ ${\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=\left(9-\left(-4\right)\right)=13.$

• Знайти алгебраїчні доповнення елементів а₂₁ та а₃₃ визначника

${\begin{vmatrix}2&3&-1\\1&4&2\\-3&1&4\\\end{vmatrix}}$

Розв'язок:

Алгебраїчні доповнення до елементів а₂₁ та а₃₃ позначимо А₂₁ та А₃₃, відповідно.

Знаходження мінорів:

Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одержимо шукані алгебраїчні доповнення

А₂₁=(-1)²⁺¹ М₂₁= -13

А₃₃=(-1)³⁺³ М₃₃= 5

Див. також

• Теорія матриць
• Матриця
• Визначник
• Теорема Лапласа
• Союзна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)