Теорема Левицького

Теорема Левицького у теорії кілець описує властивості ніль-ідеалів нетерових кілець.

Теорему вперше довів Яків Левицький, згодом нове доведення (яке подано нижче) знайшов Юдзо Утумі.

Теорема стверджує, що у нетеровому справа кільці R односторонній ніль-ідеал A є нільпотентним ідеалом.

Доведення

Оскільки кільце R є нетеровим справа, то R містить максимальний (двосторонній) нільпотентний ідеал N. Достатньо довести, що $A\subset N.$ Припустимо, що це не так. Розглядаючи фактор-кільце R/N отримаємо тоді нетерове справа кільце, що не має ненульових (двосторонніх) нільпотентних ідеалів але містить односторонній ненульовий ніль-ідеал. Для доведення теореми достатньо показати, що це неможливо. Без втрати загальності можна вважати, що кільце R і ніль-ідеал A задовольняють вказані умови.

Якщо $0\neq a\in A,$ то U = Ra є ненульовим лівим ніль-ідеалоом в R. Цей ідеал є ненульовим оскільки в іншому випадку двосторонній ідеал I породжений a (тобто, у цьому випадку, ідеал I = aR + Za) буде ненульовим (містить a) нільпотентним ідеалом (I² = 0). Якщо A — лівий ідеал, то $U\subseteq A$ і з того, що A є лівим ніль-ідеалом, випливає ця ж властивість і для U. Якщо A — правий ідеал, то для будь-якого елемента $u=xa\in U$ маємо $u^{n}=x(ax)^{n-1}a.$ Оскільки $ax\in A,$ то для досить великого n звідси випливає, що $u^{n}=0.$

Для будь-якого $u\in U$ позначимо $r(u)=\{x\in R|ux=0\}.$ Тоді r(u) є ненульовим правим ідеалом в R. З того, що R є нетеровим справа випливає існування елемента $u_{0}\neq 0,$ для якого правий ідеал $r(u_{0})$ буде максимальним серед ідеалів такого виду. Для будь-якого $x\in R$ виконується включення $r(xu_{0})\supseteq r(u_{0}).$ Отже, якщо $xu_{0}\neq 0,$ то, з огляду на те, що $xu_{0}\in U,$ із максимальності $r(xu_{0}),$ випливає рівність $r(xu_{0})=r(u_{0}).$

Нехай $y\in R,\ yu_{0}\neq 0.$ Тоді існує таке k > 1, що $(yu_{0})^{k}=0,\ (yu_{0})^{k-1}\neq 0.$ Оскільки елемент $(yu_{0})^{k-1}$ можна записати у виді $xu_{0}$, то $r((yu_{0})^{k-1})=r(u_{0}).$ Але $yu_{0}$ належить $r((yu_{0})^{k-1}),$ отже, $yu_{0}\in r(u_{0}),$ тобто $u_{0}yu_{0}=0.$ Остання рівність виконується також і у випадку $yu_{0}=0,$ тобто загалом для всіх $y\in R.$ Звідси випливає, що $Ru_{0}R$ є нільпотентним ідеалом кільця R. Оскільки R — кільце без ненульових нільпотентних ідеалів, то звідси зокрема $u_{0}R=(0).$ Але тоді множина $\{t\in R|tR=(0)\}$ є ненульовим нільпотентним ідеалом (що містить $u_{0}$). Ці протиріччя завершують доведення теореми.

Див. також

• Кільце Нетер
• Ніль-ідеал
• Нільпотентний ідеал

Література

• Herstein, I.N. (1968), Noncommutative rings (вид. 1st), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X