Ніль-ідеал

У теорії кілець, лівий, правий або двосторонній ідеал I кільця R називається ніль-ідеалом якщо всі його елементи нільпотентними, тобто для кожного $a\in I$ існує натуральне число n для якого $a^{n}=0.$ Якщо всі елементи кільця є нільпотентними (це можливо лише для кілець без одиниці), то кільце називають ніль-кільцем.

Приклади

• Будь-який нільпотентний ідеал є ніль-ідеалом.
• Якщо a є нільпотентним елементом комутативного кільця, то головний ідеал (a) є ніль-ідеалом. Для некомутативних кілець у загальному випадку це не так.
• Нільрадикал комутативного кільця є прикладом ніль-ідеалу. Він є максимальним ніль-ідеалом комутативного кільця і будь-який ідеал є ніль-ідеалом тоді і тільки тоді, коли він є підмножиною нільрадикалу. Натомість для некомутативних кілець множина нільпотентних елементів може не бути ідеалом.
• Перетин простих двосторонніх ідеалів кільця (простий радикал або радикал Бера) є ніль-ідеалом.
• Простий радикал кільця $\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ є ніль-ідеалом але не є нільпотентним ідеалом. Вказане кільце є комутативним тому простий радикал для нього є нільрадикалом і є множиною всіх нільпотентних елементів. Зокрема усі $x_{n},$ де в $x_{n}$ усі елементи добутку є рівними 0 окрім 2 на позиції n є нільпотентними (оскільки $x_{n}^{n}=0$ ) і належать нільрадикалу. Проте цей ідеал не є нільпотентним оскільки для довільного натурального n виконується $x_{k}^{n}\neq 0,\ \forall k>n.$

Властивості

• Нехай $A\subset B$ — двосторонні ідеали кільця R. Якщо A є ніль-ідеалом кільця R, а B/A є ніль-ідеалом кільця R/A, то B є ніль-ідеалом кільця R.

Візьмемо довільний елемент $x\in B.$ Оскільки B/A є ніль-ідеалом, то існує натуральне число n для якого $x^{n}\in A.$ Але A є ніль-ідеалом, тож існує натуральне число m для якого $x^{nm}=(x^{n})^{m}=0.$ Тому x є нільпотентним елементом.

• Сума довільної сім'ї ніль-ідеалів є ніль-ідеалом.

Кожен елемент такої суми є сумою скінченної кількості елементів, тож достатньо довести твердження для скінченної кількості доданків і за індукцією лише для двох доданків. Нехай A і B — двосторонні ніль-ідеали. Тоді $(A+B)/A\simeq A/(A\cap B).$ Ідеал $A/(A\cap B)$ є очевидно ніль-ідеалом, тому і $(A+B)/A$ є ніль-ідеалом. Зважаючи, що за умовою A є ніль-ідеалом, то з попередньої властивості випливає, що і сума A і B є ніль-ідеалом.

• З попередньої властивості випливає, що сума усіх ніль-ідеалів кільця є максимальним ніль-ідеалом. Він називається верхнім нільрадикалом кільця.
• Не відомо чи є сума двох односторонніх ніль-ідеалів ніль-ідеалом. Дане твердження називається гіпотезою Кете.
• Довільний односторонній ніль-ідеал є підмножиною радикала Джекобсона.

Розглянемо доведення для кілець з одиницею. Якщо $r\in R$ — нільпотентний елемент, то 1 -r є оборотним. Справді, якщо $r^{n}=0$ то $(1-r)(1+r+\ldots +r^{n-1})=1.$

Якщо I є правим ніль-ідеалом, то для усіх $i\in I,r\in R$ елемент $ir\in I$ є нільпотентним і тому $1-ir$ є оборотним. Тому i належить радикалу Джекобсона. Для лівих ідеалів доведення аналогічне.

• Для будь-якого правого кільця Артіна довільний ніль-ідеал є нільпотентним ідеалом.

Ця властивість є наслідком попередньої і того факту, що для артинових кілець радикал Джекобсона є нільпотентним. Для простоти припустимо, що в кільці є одиничний елемент. Із властивості обриву спадних послідовностей, послідовність степенів радикала Джекобсона стабілізується. Нехай всі достатньо великі степені радикала Джекобсона рівні A. Припустимо, що $A=A^{2}\neq 0.$ Із властивості Артіна випливає, що існує мінімальний правий ідеал L для якого $LA=\neq 0$ і відповідно $\lambda \in L$ для якого $\lambda A\neq 0.$ Правий ідеал $\lambda A$ задовольняє властивості $(\lambda A)A=\lambda A\neq 0$ і $\lambda A\subset L.$ Із мінімальності L випливає, що $\lambda A=L.$ Зокрема для деякого $a\in A$ маємо $\lambda a=\lambda .$ Але A є підмножиною радикала Джекобсона і тому a -1 є оборотним елементом. Тож $\lambda =0,$ що призводить до суперечності. Тому A, який є степенем радикала Джекобсона є нульовим ідеалом, що завершує доведення.

• Теорема Левицького: для правого нетерового кільця будь-який (одно- чи двосторонній) ніль-ідеал є нільпотентним.

Див. також

• Нільпотентний елемент
• Нільпотентний ідеал
• Нільрадикал
• Радикал Джекобсона
• Теорема Левицького

Література

• Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
• Beachy, John A. (1999), Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, т. 47, Cambridge University Press, ISBN 9780521644075.
• John Dauns (1994), Modules and rings, Cambridge University Press, ISBN 9780521462587
• Goodearl, K. R.; Warfield, Robert B. (1989), An introduction to noncommutative noetherian rings, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36925-1.
• Michiel Hazewinkel; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules, т. Vol. 1, Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2690-0