Теорема Люрота

Теорема Люрота — важливий результат у теорії полів, що має важливі застосування для алгебричної теорії чисел і алгебричної геометрії. Теорема названа на честь німецького математика Якоба Люрота, який довів її у 1876 році.

Твердження теореми

Нехай $K(t):K$ — просте розширення поля і елемент t є трансцендентним над K. Якщо L є підполем K(t), що містить K і не є йому рівним то $L:K$ теж є простим розширенням. Це розширення теж буде трансцендентним і відповідно буде ізоморфним полю $K(t)$

Доведення

Якщо $s\in L\setminus K$, то його можна записати як $s=p(t)/q(t)$ де $p,q\in K[x]$ є ненульовими многочленами. Тоді $q(t)s-p(t)=0$, і t є алгебричним елементом над полем L.

Нехай m — мінімальний многочлен елемента t над L. m можна розглядати як елемент $K(t)[x].$ Тоді існує $\beta \in K(t)$ для якого $\beta m=f$, де

$f=a_{0}(t)+a_{1}(t)x+\ldots +a_{n}(t)x^{n}$

є примітивним многочленом у кільці $K[t][x]$ (тобто найбільший спільний дільник елементів $a_{i}(t)\in K[t],$ що є ненульовими коефіцієнтами біля степенів x є рівним 1). Зауважимо що $n=\deg(m)=[K(t):L]$.

Оскільки старший коефіцієнт m рівний 1, $\beta =a_{n}(t)$ і всі частки $a_{i}(t)/a_{n}(t)$ належать полю L; з іншого боку вони не можуть всі належати полю K, оскільки t є трансцендентним елементом над K. Отож існує $0\leqslant i<n,$ для якого $u:=a_{i}(t)/a_{n}(t)\in L\setminus K.$

Можна записати $u=g(t)/h(t)$ де g і h є взаємно простими многочленами у $K[t]$. Нехай $r=\max(\deg(g),\deg(h))$. Тоді, як неважко помітити, $[K(t):K(u)]=r$. Оскільки $K(u)\subset L$, це означає що $r\geqslant n.$ Тому для доведення теореми достатньо довести, що також $r\leqslant n.$, бо тоді отримаємо, що $L=K(u).$

Розглянемо вираз $l=g(t)h(x)-h(t)g(x).$ Оскільки g і h є взаємно простими, l не є рівним нулю. Із попередніх означень отримуємо $(h(t))^{-1}l\in L[x]$, і t є коренем цього многочлена. Тому m ділить $(h(t))^{-1}l$ в $L[x]$ і, як наслідок, f ділить l в $K(t)[x].$ Але f є примітивним многочленом у $K[t][x]$ і тому з леми Гауса випливає, що f ділить l у $K[t][x],$ тобто існує $j\in K[t][x]$ такий що $l=fj.$

Вирази $l,f,j$ можна розглядати як елементи $K[t][x]$ або як елементи $K[x][t]$: позначатимемо степінь по змінній x як $\deg _{x}$ і степінь по змінній t як $\deg _{t}.$

Маємо $\deg _{t}(l)\leqslant r$ і $\deg _{t}(f)\geqslant r$ оскільки $r=\max(\deg g,\deg h)\leqslant \max(\deg(a_{i}(t)),\deg(a_{n}(t)))$ зважаючи на те, що $u=g(t)/h(t)=a_{i}(t)/a_{n}(t)$ і g і h є взаємно простими; натомість очевидно $\deg _{t}(f)\geqslant \max(\deg(a_{i}(t)),\deg(a_{n}(t)))$.

Звідси, враховуючи рівність $l=fj,$ маємо $\deg _{t}(f)=\deg _{t}(l)=r$ і $\deg _{t}(j)=0$ або, іншими словами $j\in K[x].$ Зокрема це означає, що j є примітивним многочленом у $K[t][x].$ Оскільки це ж справедливо для f то, згідно леми Гауса, многочлен $l=fj$ теж є примітивним у $K[t][x].$. Але l є кососиметричним щодо змінних t і x і тому l є примітивним многочленом у $K[x][t]$. Проте $j\in K[x]$ і j ділить l; отже j має бути оборотним у $K[x]$, тобто $j\in K.$ Звідси

$n=\deg _{x}(f)=\deg _{x}(l)=\deg _{t}(l)=\deg _{t}(f)\geqslant r,$

що завершує доведення теореми.

Див. також

• Просте розширення поля
• Раціональні функції

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, с. 148, ISBN 9780412361906
• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3