Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо  — алгебричне число степеня , а та  — будь-які цілі числа , то виконується нерівність

де  — додатна константа, що залежить тільки від і виражається в явному вигляді через пов'язані з величини.

За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад

Узагальнення[ред. | ред. код]

При теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.

1909 року Туе встановив, що для алгебричних чисел степеня і виконується нерівність

    (*)

Зігель поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при

, де  — ціле, зокрема, при . Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при . Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому . Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число , алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень , що задовольняють нерівності
.

Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, яким чином стала в нерівності залежить від величин і .

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]