Трансцендентне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Трансцендентні числа — це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Властивості[ред. | ред. код]

Приклади[ред. | ред. код]

Історія[ред. | ред. код]

Вперше поняття трансцендентного числа ввів Жозеф Ліувілль в 1844, коли за допомогою діофантових наближень довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеман довів теорему про трансцендентність степеня числа з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа і нерозв'язність завдання квадратури круга. Неконструктивне доведення існування трансцендентних чисел — майже тривіальний наслідок теорії множин Кантора.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо , — алгебраїчне число і  — алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що  — трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число . Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа насправді є трансцендентними.

Схема доведення того, що число є трансцендентним[ред. | ред. код]

Перше доведення того, що число , основа натурального логарифму, є трансцендентним, датується 1873 роком. Надалі слідуватимемо стратегії Давида Гільберта, який спростив оригінальне доведення, запропоноване Шарлем Ермітом. Ідея полягає в застосуванні методу "від супротивного".

Припустимо, що  — алгебраїчне число. Тоді існує скінченний набір цілих коефіцієнтів , що задовольняють рівняння

Для додатнього цілого числа розглянемо наступний многочлен:

і помножимо обидві частини рівняння вищевказаного рівняння на

таким чином, отримаємо:

Це рівняння можна записати в наступній формі:

де

Лема 1. Існує таке , для якого вираз є цілим ненульовим числом.

Доведення. Кожен доданок в є добутком цілого числа на суму факторіалів; це випливає з рівності

яка є справедливою для будь-якого цілого додатнього (див. Гамма-функція).

Він не дорівнює нулю, оскільки для будь-якого такого, що , підінтегральний вираз в

є добутком на суму доданків, в яких найменший степінь при дорівнює після заміни в інтегралі на . Отримаємо суму інтегралів вигляду

де , і тому вона є цілим числом, що ділиться на . Після ділення на отримаємо 0 за модулем . Проте можна записати

і тоді при діленні першого доданку на отримаємо

Тому при діленні кожного інтеграла в на лише перший не буде ділитися націло на і лише тоді, коли є простим числом і , . З цього випливає, що вираз не ділиться націло на і тому не може дорівнювати нулю.

Лема 2. для достатньо великих .

Доведення. Зауважимо, що

де  — неперервні для всіх , і тому є обмеженими на проміжку . Це означає, що існують константи такі, що

для

Тому кожен з інтегралів в є обмеженим, і в найгіршому випадку

Тоді можна обмежити і :

де є незалежною від константою. З цього випливає, що

де

що завершує доведення леми.

Виберемо , що задовольняє умови обох лем. Отримаємо наступне: ціле число , що не дорівнює нулю, додане до нескінченно малої величини , дорівнює нулю, що неможливо. Тому наше припущення, що є алгебраїчним числом, хибне; отже,  — трансцендентне число.

Література[ред. | ред. код]