Теорема Руше

Теореми Руше — твердження в комплексному аналізі згідно з яким, якщо функції $f(z)$ і $g(z)$ голоморфні в однозв'язній області $G$, а на контурі $\partial G$ також виконується строга нерівність $|f(z)-g(z)|<|f(z)|,\,\forall z\in \partial G$, то в області $G$ функції $f$ і $g$ мають однакову кількість нулів з урахуванням кратності.

Доведення

З нерівності $|f(z)-g(z)|<|f(z)|\,$ випливає, що функції $f,g$ не мають нулів на $\partial G.$ Поділивши $|g(z)-f(z)|=|f(z)-g(z)|$ на $|f(z)|$ одержуємо нерівність $|F(z)-1|<1,\,\forall z\in \partial G,$ де $F(z)={\frac {g(z)}{f(z)}}.$

Звідси бачимо, що образ $\partial G'$ контуру $\partial G$ щодо відображення $w=F(z)$ лежить всередині відкритого круга радіуса 1 з центром в точці $w=1.$ Оскільки 0 не належить цьому кругу, то функція ${\frac {1}{w}}$ буде голоморфною в цьому кругу і, відповідно, на контурі $\partial G'$ і в обмеженій ним області. Тоді згідно з інтегральною теоремою Коші:

$\oint _{\partial G'}{\frac {1}{w}}\,dw=0.$

Оскільки $w=F(z),\,dw=F'(z)dz,$ то звідси

$\oint _{\partial G}{\frac {F'(z)}{F(z)}}\,dz=0.\quad (*)$

З формули похідної від частки можна одержати:

${\frac {F'(z)}{F(z)}}={\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}$

Підставляючи цей вираз в (*) одержуємо:

$\oint _{\partial G}{\Bigg [}{\frac {g'(z)}{g(z)}}-{\frac {f'(z)}{f(z)}}{\Bigg ]}\,dz=0$

або

$\oint _{\partial G}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{\partial G}{\frac {g'(z)}{g(z)}}\,dz\quad .$

Оскільки згідно з умовою функції f, g є голоморфними і не мають полюсів, то з принципом аргументу випливає, що кількість нулів для цих функцій в області G має бути однаковою.

Див. також

• Інтегральна теорема Коші
• Основна теорема про лишки
• Принцип аргументу
• Принцип збереження області

Джерела

• Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1954. — 202 с.(укр.)
• Давидов М.О. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1968. — 212 с.(укр.)
• Грищенко О.Ю., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: : Вища школа, 1994. — 375 с.(укр.)
• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.(укр.)
• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis (PDF) (англ.). McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.(англ.)
• Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (PDF) (англ.) (вид. 3rd). New York: McGraw-Hill. с. 416. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D. A first course in complex analysis with applications. — Jones and Bartlett Publishers, Inc. — ISBN 0-7637-1437-2.(англ.)