Інтегральна теорема Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ — одна з основних теорем аналітичних функцій, сформульована та доведена Оґюстеном-Луї Коші.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай диференційовна в однозв’язній області і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від по будь-якій замкненій кривій , яка лежить в області , дорівнює нулю:

Доведення[ред.ред. код]

Згідно з властивістю інтегралу:

Оскільки має неперервну похідну першого порядку в області , то частинні похідні від U та V також є неперервними в області , де виконується умова Коші-Рімана:

Тобто

З іншого боку, щоб будь-який криволінійний інтеграл дорівнював нулю, необхідно щоб під знаком інтеграла був повний диференціал:

Тому необхідною умовою неперервності у будь-якій точці є незалежність інтегралу від шляху.

Наслідки[ред.ред. код]

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.