Інтегральна теорема Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ — одна з основних теорем аналітичних функцій, сформульована та доведена Оґюстеном-Луї Коші.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай f(z)=U(x,y)+iV(x,y)\, диференційовна в однозв’язній області D \subset \mathbb{C} і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від f(z)\, по будь-якій замкненій кривій \gamma\,, яка лежить в області D\,, дорівнює нулю:

\int_{\gamma}f(z)dz=0\,

Доведення[ред.ред. код]

Згідно з властивістю інтегралу:

\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma}Udx-Vdy+i\int_{\gamma}Udy+Vdx\,

Оскільки f(z) має неперервну похідну першого порядку в області D, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області D, де виконується умова Коші-Рімана:

\oint_{\gamma}Udx-Vdy=\oint_{\gamma}Udy+Vdx

Тобто

\int_{\gamma}f(z)dz=0\,

З іншого боку, щоб будь-який криволінійний інтеграл дорівнював нулю, необхідно щоб під знаком інтеграла був повний диференціал:

0=\oint_{\gamma}d\varphi=\oint_{\gamma}\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy

\begin{matrix}\frac{\partial \varphi}{\partial x}=U\\ \ \frac{\partial \varphi}{\partial y}=-V\end{matrix} \Leftrightarrow \frac{\partial U}{\partial x}=-\frac{\partial V}{\partial y}

Тому необхідною умовою неперервності у будь-якій точці є незалежність інтегралу від шляху.

Наслідки[ред.ред. код]

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.