Інтегральна теорема Коші

Математичний аналіз → Комплексний аналіз
Комплексний аналіз
Комплексні числа
Дійсні числа Уявне число Комплексна площина Спряжені числа
Комплексні функції
Комплекснозначна функція Аналітична функція Голоморфна функція Умови Коші — Рімана Формальний степеневий ряд
Основна теорія
Інтегральна теорема Коші Інтегральна формула Коші Індекс замкнутої кривої Ряд Лорана Ізольована особлива точка Теорема про лишки Конформне відображення Лема Шварца Гармонічна функція Рівняння Лапласа
Люди
Оґюстен-Луї Коші Леонард Ейлер Карл Фрідріх Гаусс Жак Соломон Адамар Бернгард Ріман Карл Веєрштрас

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.

Формулювання теореми у варіанті Коші

Нехай $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$ диференційовна в однозв’язній області $D\subset \mathbb {C}$ і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від $f(z)\,$ по будь-якій замкненій простій кривій $\gamma \,$, яка лежить в області $D\,$, дорівнює нулю:

$\int _{\gamma }f(z)dz=0\,$

Доведення

Згідно з властивістю інтегралу:

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx\,$

Оскільки $f(z)$ має неперервну похідну першого порядку в області $D$, то частинні похідні від U та V також є неперервними в області $D.$

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }udx-vdy+i\int _{\gamma }udy+vdx=\iint \limits _{R}\left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right)dA+i\iint \limits _{R}\left({\partial u \over \partial x}-{\partial v \over \partial y}\right)dA.$

Оскільки $f(z)$ є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ і

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також $\int _{\gamma }f(z)dz=0.$

Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників

Якщо функція f є голоморфною в області $D\subset \mathbb {C}$, то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника $\Delta \subset D$ є рівним 0:

$\int _{\partial \Delta }f(z)dz=0.$

У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

Доведення

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник $\Delta \subset D$ такий, що

$\left|\int _{\partial \Delta }f(z)dz\right|=M>0.$

Припустимо, що границя $\partial \Delta ,$ яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник $\Delta$ на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по $\partial \Delta$ дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють $\partial \Delta$ із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник $\Delta _{1}$ для якого

$\left|\int _{\partial \Delta _{1}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4}.$

Трикутник $\Delta _{1}$ знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один $\Delta _{2}$ такий, що

$\left|\int _{\partial \Delta _{2}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{2}}.$

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі $n$-го трикутника виконується нерівність:

$\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}.$

Послідовність вкладених трикутників $\Delta _{n}$ має спільну точку $z_{0}.$ Очевидно $z_{0}\in \Delta \subset D$ і функція f є голоморфною в точці $z_{0}.$ Тому з означення комплексної похідної для будь-якого $\varepsilon >0$ знайдеться $\delta >0$ таке, що для всіх точок околу $V=\{|z-z_{0}|<\delta \}$ у рівності

$f(z)-f(z_{0})=f'(z_{0})(z-z_{0})+g(z)(z-z_{0})$

для функції g виконується нерівність $|g(z)|<\varepsilon .$

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого $\Delta _{n}$ належать околу V. Тому

$\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz=\int _{\partial \Delta _{n}}f(z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}f'(z_{0})(z-z_{0})dz+\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz.$

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники $f(z_{0})$ і $f'(z_{0})$ можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і $z-z_{0}$ по замкнутому контуру $\partial \Delta _{n}$ є рівними 0.

Оскільки $|g(z)|<\varepsilon$ для всіх $z\in \partial \Delta _{n}$ і також для всіх $z\in \partial \Delta _{n}$ величина $z-z_{0}$ не перевищує периметра $P(\Delta _{n})$ трикутника $\Delta _{n},$ то

$\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|=\left|\int _{\partial \Delta _{n}}g(z)(z-z_{0})dz\right|<\varepsilon (P(\Delta _{n}))^{2}.$

Але за побудовою $P(\Delta _{n})={P(\Delta ) \over 2^{n}},$ де $P(\Delta )$ позначає периметр трикутника $\Delta ,$ тож також

$\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|<\varepsilon {(P(\Delta ))^{2} \over 4^{n}}$

і враховуючи, що $\left|\int _{\partial \Delta _{n}}f(z)dz\right|\geqslant {M \over 4^{n}}$ остаточно

$M<\varepsilon (P(\Delta ))^{2}.$

Із довільності числа $\varepsilon$ випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Узагальнення для довільних ламаних ліній

Нехай тепер $a_{0},\ldots a_{m}\in D$ є точками у області $D\subset \mathbb {C}$ на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною $D.$ Позначимо $L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}$ орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки $a_{i}$ і $a_{i+1}$ (із відповідним напрямком) і відрізку із точки $a_{m}$ до точки $a_{0}.$ Тоді:

$\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=0.$

Для $m=0$ (коли ламана лінія є точкою) і $m=1$ (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок $m=2$ є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер $m>2$ і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для $m-1.$ Тоді можна записати:

$\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m}}}f(z)dz=\int _{L_{a_{0},\ldots ,a_{m-1}}}f(z)+\int _{L_{a_{m-1},a_{m},a_{0}}}f(z)$

оскільки відрізок, що з'єднує точки $a_{0}$ і $a_{m-1}$ у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Первісна і теорема Коші — Гурса у крузі

Якщо $D(z_{0},r)$ є відкритим кругом із центром у точці $z_{0}$ і радіусом $r$ і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію $F(z)=\int _{[z_{0},z]}f(\xi )d\xi .$ Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що $F(z)$ є первісною для $f(z),$ тобто $F'(z)=f(z).$

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок $z_{1},z_{2}\in D(z_{0},r)$ і спрямлюваної кривої $\gamma :[0,1]\to D(z_{0},r)$ для якої $\gamma (0)=z_{1},\ \gamma (1)=z_{2}$ виконується рівність $\int _{\gamma }f(z)dz=F(z_{2})-F(z_{1})$.

Зокрема, якщо $\gamma _{1}:[0,1]\to D(z_{0},r)$ і $\gamma _{2}:[0,1]\to D(z_{0},r)$ є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

$\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)\ dz.$

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів і контурів

Нехай функція f є голоморфною у області U і $\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ і $\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Доведення

Нехай $\gamma :[0,1]\times [a,b]\rightarrow U$ є гомотопією із $\gamma _{0}$ у $\gamma _{1}$. Для будь-яких $s\in [0,1]$ і $t\in [a,b]$ точка $\gamma (s,t)$ належить $U$. Із компактності випливає існування радіуса $r>0$ для якого $D(\gamma (s,t),r)\subset U$ для всіх $s\in [0,1]$ і $t\in [a,b]$. Оскільки відображення $\gamma$ є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує $\delta >0$ для якого

$|\gamma (s',t')-\gamma (s,t)|\leqslant {\frac {r}{4}}$

для всіх $s,s'\in [0,1]$ і $t,t'\in [a,b]$ для яких $|s-s'|\leqslant \delta$ і $|t-t'|\leqslant \delta$. Нехай $0=s_{0}<\dots <s_{n}=1$ і $a=t_{0}<\dots <t_{m}=b$ є розбиттями відповідних відрізків для яких ${|s_{i}-s_{i-1}|\leqslant \delta }$ і ${|t_{j}-t_{j-1}|\leqslant \delta }$ для всіх $1\leqslant i\leqslant n$ і $1\leqslant j\leqslant m$. Для кожного $i$ і $j$ позначимо $C_{i,j}$ замкнутий контур із точок

$C_{i,j}:=\gamma _{\gamma (s_{i},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j})\rightarrow \gamma (s_{i-1},t_{j-1})\rightarrow \gamma (s_{i},t_{j-1})}.$

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж ${\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}+{\frac {r}{4}}=r,$ тож контур цілком міститься у крузі $D(\gamma (s_{i},t_{i}),r).$

Тому із попереднього

$\int _{C_{i,j}}f(z)\ dz=0$

для всіх $1\leqslant i\leqslant n$ і $1\leqslant j\leqslant m$. Просумувавши ці рівності для всіх $i$ і $j$, враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

$\int _{\gamma _{\gamma (0,t_{0})\rightarrow \gamma (0,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (0,t_{n})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{\gamma (1,t_{0})\rightarrow \gamma (1,t_{1})\rightarrow \dots \rightarrow \gamma (1,t_{n})}}f(z)\ dz$

Далі можна записати рівність

$\int _{\gamma _{\gamma (0,t_{i-1})\rightarrow \gamma (0,t_{i})}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}}f(z)\ dz$

для $i=1,\dots ,n$, де $\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}:[t_{i-1},t_{i}]\rightarrow U$ є обмеженням $\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ на $[t_{i-1},t_{i}]$ і так само для $\gamma _{1}$. Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки $\gamma (0,t_{i-1})$ і $\gamma (0,t_{i})$ і крива $\gamma _{0,[t_{i-1},t_{i}]}$ за побудовою належать кругу $D(\gamma (s_{0},t_{i}),r).$

Разом із цього отримуємо

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Твердження для гомотопних контурів

Із попереднього твердження випливає, зокрема, що якщо $\gamma$ є стягуваним замкнутим спрямлюваним контуром у U то

$\int _{\gamma }f(z)\ dz=0.$

Дане твердження є наслідком того факту, що гомотопія із замкнутого контура $\gamma =\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ на точку може завжди бути вибрана так, що вказаною точкою є точка $z_{0}=\gamma (a)=\gamma (b)$ і гомотопія є гомотопією, що фіксує кінцеві точки, тобто $\gamma _{t}(a)=\gamma _{t}(b)=z_{0}$ і $\gamma _{1}(s)=z_{0}$ для всіх $t\in [a,b]$ і всіх $s\in [a,b].$ Тоді оскільки інтеграл по контуру виродженому у точку $z_{0}$ є рівним нулю, то і інтеграл по контуру кінцевими точками якого є $z_{0}$ і який є стягуваним до $z_{0}$ за допомогою гомотопії, що фіксує кінцеві точки є рівним нулю.

Більш загально, якщо $\gamma _{0},\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U$ є замкнутими спрямлюваними контурами, що є гомотопними, як замкнуті контури (тобто при гомотопії усі проміжні криві $\gamma _{t}$ теж є замкнутими контурами), то також

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Узагальнення для довільних неперервних шляхів

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів $\gamma :[a,b]\rightarrow U$ (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття $a=t_{0}<\dots <t_{m}=b$, що всі відрізки виду $[\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1})]$ належать $U$. Тоді можна розглянути ${\bar {\gamma }}:[a,b]\rightarrow U$ — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно ${\bar {\gamma }}$ є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням $\int _{\gamma }f(z)\ dz:=\int _{\bar {\gamma }}f(z)\ dz.$ Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії ${\bar {\gamma }}$.

Якщо тепер $\gamma _{0}:[a,b]\rightarrow U$ і $\gamma _{1}:[a,b]\rightarrow U$ є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

$\int _{\gamma _{0}}f(z)\ dz=\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz.$

Гомологічне формулювання теореми

Нехай $U$ є областю і $\gamma _{i}$ є замкнутими контурами, що належать $U$. Циклом називається формальна лінійна комбінація:

$\Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}$

коефіцієнти якої $n_{i}$ є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у $U$ із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція $f$ є визначена на всіх контурах $\gamma _{i}$, що входять у цикл $\Gamma =n_{1}\gamma _{1}+n_{2}\gamma _{2}+\ldots +n_{r}\gamma _{r}$ то за означенням:

$\int _{\Gamma }f(z)\ dz=n_{1}\int _{\gamma _{1}}f(z)\ dz+\ldots +n_{r}\int _{\gamma _{r}}f(z)\ dz.$

Для довільної точки $z_{0},$ що не лежить на контурі $\gamma$ можна ввести індекс контуру відносно точки, як

$I(\gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }{1 \over z-z_{0}}dz.$

Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

$I(\Gamma ,z_{0})={1 \over 2\pi i}\sum _{i=1}^{r}\int _{\gamma _{i}}{1 \over z-z_{0}}dz.$

Нехай функція $f$ є голоморфною на області $U$. Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла $\Gamma$ і кожної точки $z_{0},$ що не належить $U$ виконується рівність $I(\Gamma ,z_{0})=0,$ то також $\int _{\Gamma }f(z)\ dz=0.$

Наслідки

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також

• Теорема Морери
• Теорема Монтеля
• Інтегральна формула Коші
• Лишок
• Список об'єктів, названих на честь Оґюстена-Луї Коші

Посилання

• Terry Tao. Math 246A, Notes 3: Cauchy’s theorem and its consequences [Архівовано 10 лютого 2021 у Wayback Machine.]

Джерела

• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.