Інтегральна теорема Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Інтегра́льна теоре́ма Коші́ (також теорема Коші — Гурса) — одна з основних теорем комплексного аналізу. Перші варіанти теореми сформулював та довів Оґюстен-Луї Коші у 1825 році, при слабших вимогах теорему довів французький математик Едуард Гурса у 1883 році.

Формулювання теореми у варіанті Коші[ред. | ред. код]

Нехай диференційовна в однозв’язній області і її похідна неперервна в цій області (у будь-якій точці цієї області). Тоді інтеграл від по будь-якій замкненій простій кривій , яка лежить в області , дорівнює нулю:

Доведення[ред. | ред. код]

Згідно з властивістю інтегралу:

Оскільки має неперервну похідну першого порядку в області , то частинні похідні від U та V також є неперервними в області

Згідно теореми Гріна тоді інтеграли по контуру можна замінити на інтеграли по області (позначимо її R), яку обмежує цей контур, а саме:

Оскільки є голоморфною функцією, то виконуються умова Коші-Рімана:

і

Із цих рівностей випливає рівність нулю двох інтегралів у правій частині інтегральної рівності, а тому також

Варіант теореми Коші — Гурса для трикутників[ред. | ред. код]

Якщо функція f є голоморфною в області , то інтеграл від f no орієнтованій границі будь-якого трикутника є рівним 0:

У даному варіанті не вимагається неперервність похідної у області.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай твердження теореми не виконується і існує трикутник такий, що

Припустимо, що границя яка є кусково гладкою кривою) є орієнтована проти годинникової стрілки.

Розіб'ємо трикутник на чотири трикутники середніми лініями і введемо на границях цих трикутників орієнтацію проти годинникової стрілки.

Очевидно, що інтеграл від f по дорівнює сумі інтегралів по границях малих трикутників, бо інтеграли по середніх лініях беруться двічі в протилежних напрямках і тому взаємно скорочуються, а інші границі утворюють із відповідною орієнтацією. Тому знайдеться хоча б один малий трикутник для якого

Трикутник знову можна розбити середніми лініями на чотири трикутника і, як і вище, серед них є хоча б один такий, що

За індукцією побудуємо послідовність вкладених один в одного трикутників таких, що для інтеграла по границі -го трикутника виконується нерівність:

Послідовність вкладених трикутників має спільну точку Очевидно і функція f є голоморфною в точці Тому з означення комплексної похідної для будь-якого знайдеться таке, що для всіх точок околу у рівності

для функції g виконується нерівність

Усі трикутники побудованої послідовності починаючи з деякого належать околу V. Тому

Але перші два інтеграли справа є рівними нулю оскільки множники і можна винести за знак інтеграла, а інтеграли від 1 і по замкнутому контуру є рівними 0.

Оскільки для всіх і також для всіх величина не перевищує периметра трикутника то

Але за побудовою де позначає периметр трикутника тож також

і враховуючи, що остаточно

Із довільності числа випливає, що M = 0 всупереч припущенню.

Узагальнення для довільних ламаних ліній[ред. | ред. код]

Нехай тепер є точками у області на якій функція є голоморфною і замкнута опукла оболонка цих точок є підмножиною Позначимо орієнтовану замкнуту ламану лінію (можливо із самоперетинами) одержану із відрізків, що сполучають точки і (із відповідним напрямком) і відрізку із точки до точки Тоді:

Для (коли ламана лінія є точкою) і (коли ламана лінія є відрізком, який проходиться спершу в одному напрямку, а потім в протилежному) твердження є очевидним. Випадок є випадком трикутників, який доведений вище. Нехай тепер і припустимо за індукцією, що твердження доведено для всіх ламаних ліній для Тоді можна записати:

оскільки відрізок, що з'єднує точки і у двох інтегралах з правої сторони проходять у різних напрямках і відповідні значення інтегралів скорочуються, а всі інші відрізки у лівій і правій стороні є однаковими із врахуванням напрямку. Але згідно припущення індукції обидва інтеграли з правої сторони є рівними нулю, що й доводить твердження.

Первісна і теорема Коші — Гурса у крузі[ред. | ред. код]

Якщо є відкритим кругом із центром у точці і радіусом і функція f є голоморфною в цьому крузі, то можна ввести функцію Із теореми Коші — Гурса для трикутників легко можна довести, що є первісною для тобто

Також із твердження теореми для ламаних ліній випливає, що для будь-яких точок і спрямлюваної кривої для якої виконується рівність .

Зокрема, якщо і є спрямлюваними кривими із однаковими початковими і кінцевими точками то:

Це твердження є варіантом загальної теореми Коші — Гурса для круга.

Теорема Коші — Гурса для гомотопних шляхів[ред. | ред. код]

Нехай функція f є голоморфною у області U і і є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і спрямлюваними у U. Тоді:

Звідси випливає, зокрема, що якщо є стягуваним замкнутим спрямлюваним простим контуром у U то

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай є гомотопією із у . Для будь-яких і точка належить . Із компактності випливає існування радіуса для якого для всіх і . Оскільки відображення є неперервним на компактній множині то воно є рівномірно неперервним. Зокрема існує для якого

для всіх і для яких і . Нехай і є розбиттями відповідних відрізків для яких і для всіх і . Для кожного і позначимо замкнутий контур із точок

За побудовою довжина цього контура є меншою, ніж тож контур цілком міститься у крузі

Тому із попереднього

для всіх і . Просумувавши ці рівності для всіх і , враховуючи фіксацію кінцевих точок при гомотопії і здійснивши всі скорочення одержуємо, що

Далі можна записати рівність

для , де є обмеженням на і так само для . Дана рівність випливає із теореми Коші — Гурса для кругів, оскільки і відрізок, що сполучає точки і і крива за побудовою належать кругу

Разом із цього отримуємо

Узагальнення для довільних неперервних шляхів[ред. | ред. код]

Подані вище варіанти теореми дозволяють ввести поняття комплексного інтегралу для довільних неперервних шляхів (не обов'язково спрямлюваних). Для такого шляху із його компактності випливає існування такого розбиття , що всі відрізки виду належать . Тоді можна розглянути — ламану лінію із цих відрізків із необхідною параметризацією. Очевидно є спрямлюваною кривою.

Тоді можна взяти за означенням Із теореми Коші — Гурса випливає незалежність значення інтегралу від вибору ламаної лінії .

Якщо тепер і є гомотопними (із гомотопією, що фіксує кінцеві точки) і неперервними, то із таким означенням інтегралу:

Гомологічне формулювання теореми[ред. | ред. код]

Нехай є областю і є замкнутими контурами, що належать . Циклом називається формальна лінійна комбінація:

коефіцієнти якої є цілими числами. Множина усіх таких лінійних комбінацій для всіх можливих замкнутих контурів у із очевидною операцією додавання утворює абелеву групу.

На множині циклів можна ввести операцію інтегрування. А саме, якщо функція є визначена на всіх контурах , що входять у цикл то за означенням:

Для довільної точки що не лежить на контурі можна ввести індекс контуру відносно точки, як

Цей індекс завжди є цілим числом. Аналогічно як для інтеграла можна ввести індекс цикла відносно точки, що не належить жодному із контурів, що входять у цикл:

Нехай функція є голоморфною на області . Згідно гомологічного варіанту теореми Коші, якщо для деякого цикла і кожної точки що не належить виконується рівність то також

Наслідки[ред. | ред. код]

За допомогою теореми Коші доводиться справедливість інтегральної формули Коші та основної теореми про лишки.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Москва: Наука, 1969. — 577 с.