Теорема Хайоша

У цій мозаїці на площині, що складається з однакових квадратів, зелені та фіолетові квадрати дотикаються повними сторонами, як і блакитні та помаранчеві квадрати

Теорема Хайоша стверджує, що якщо скінченна абелева група подається як прямий добуток симплексів, тобто наборів вигляду {e,a,a²,…,a^{s -1}}, де e — одиничний елемент, тоді принаймні один із членів цього добутку є підгрупою. Теорему довів 1941 року угорський математик Дьордь Хайош, використовуючи групові кільця. Пізніше Ласло Редеї довів це твердження за вимоги лише присутності в прямому добутку тотожного елемента та простого числа елементів добутку.

Еквівалентне твердження на однорідних лінійних формах висловив, як гіпотезу, Герман Мінковський. Наслідок гіпотези Мінковського на ґратці мозаїки свідчить, що в будь-якій ґратчастій мозаїці простору кубами є два куби, що дотикаються повними гранями (грань-до-грані). Гіпотеза Келлера — та сама гіпотеза для неґратчастих мозаїк, яка хибна для вищих розмірностей. Теорему Хайоша узагальнив Тибор Сіле.

Література

• G. Hajós. Über einfache und mehrfache Bedeckung des 'n'-dimensionalen Raumes mit einem Würfelgitter // Math. Z.. — 1941. — Вип. 47 (21 квітня). — С. 427–467.
• H. Minkowski. Diophantische Approximationen. — Leipzig : Drück und Verlag von B. G. Teubner, 1907.
• L. Rédei. Die neue Theorie der endlichen abelschen Gruppen und Verallgemeinerung des Hauptsatzes von Hajόs // Acta Math. Acad. Sci. Hung.. — 1965. — Вип. 16 (21 квітня). — С. 329–373.
• Stein, S. K. (1974), Algebraic tiling, The American Mathematical Monthly, 81: 445—462, doi:10.2307/2318582, JSTOR 2318582, MR 0340063
• Sherman K. Stein, Sándor Szabó. Algebra and tiling. — Mathematical Association of America, 1994. — Т. 25. — (Carus Mathematical Monographs) — ISBN 978-0-88385-028-2.