Підгрупа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Підгрупою групи G називається підмножина групи , що сама є групою щодо операції, визначеної в .

Підмножина групи є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

  1. містить добуток будь-яких двох елементів з ,
  2. містить разом зі всяким своїм елементом обернений до нього елемент .

У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є зайвою.

Еквівалентно є підгрупою, якщо виконується умова:


Приклади[ред.ред. код]

  • Підмножина групи , що складається з одного елементу , буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи .
  • Сама також є своєю підгрупою.
  • Нехай G абелева група елементами якої є

і груповою операцією є додавання за модулем 8. Її таблиця Келі має вигляд:

+ 0 2 4 6 1 3 5 7
0 0 2 4 6 1 3 5 7
2 2 4 6 0 3 5 7 1
4 4 6 0 2 5 7 1 3
6 6 0 2 4 7 1 3 5
1 1 3 5 7 2 4 6 0
3 3 5 7 1 4 6 0 2
5 5 7 1 3 6 0 2 4
7 7 1 3 5 0 2 4 6

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Сама група і одинична підгрупа називається невласними підгрупами групи G, всі інші підгрупи H власними.
  • Перетин всіх підгруп групи , що містять всі елементи деякої непорожньої множини , називається підгрупою, породженою множиною , і позначається .
  • Якщо складається з одного елемента , то називається циклічною підгрупою елемента .
  • Якщо група ізоморфна деякій підгрупі групи , то кажуть, що група може бути вкладена в групу .

Властивості[ред.ред. код]

  • Теоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп групи є підгрупою групи .
  • Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп і називається підгрупа, породжена об'єднанням множин .
  • Нехай гомоморфізм груп. Тоді якщо є підгрупою , то є підгрупою . Якщо є підгрупою , то є підгрупою .
  • Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]