Декартів добуток множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

доповнення

об'єднання
перетин

різниця

симетрична різниця
декартів добуток



Декартів добуток множин та

В теорії множин, дека́ртів добу́ток (прями́й добу́ток) двох множин X та Y — це множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить множині X, а друга — множині Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначають як X×Y:

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y — з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то декартів добуток цих множин є 52-елементною множиною (оскільки 13×4=52) {(A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений)}.

Декартів квадрат та n-арний добуток[ред.ред. код]

Декартів квадрат (бінарний декартів добуток) множини X — декартів добуток = X×X.

Декартовим квадратом множини дійсних чисел є двовимірний простір (площина) — множина усіх точок з координатами (x,y), де x та y — дійсні числа (див. Декартова система координат).

Узагальнюючи декартів добуток на випадок n множин X1, X2, ..., Xn, отримують n-арний декартів (прямий) добуток множин:

Результатом є множина впорядкованих n-місних кортежів (n-ок, векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-ю компонентою

n-арний декартів добуток однієї множини X × ... × X позначають також як Xn і називають декартовим (прямим) степенем множини X.

Властивості[ред.ред. код]

Операція декартового добутку не є асоціативною та комутативною, тобто (A×B)×C≠A×(B×C), A×B≠B×A.

Справедлива така тотожність відносно операції перетину (для об'єднання не вірно):

Дистрибутивність буде виконуватись для наступних операцій:

Для підмножин будуть вірні твердження:

  • Якщо , то
  • Якщо , то

Проекції[ред.ред. код]

Проекцією кортежу A=(x1, x2, ... , xn) на i-у вісь (або i-ою проекцією) називається i-а координата xi кортежу A, позначається Pri(A) = xi. Проекцією кортежу A=(x1, x2, ... , xn) на осі з номерами i1, i2,..., ik називається кортеж (xi1, xi2, ..., xik), позначається Pri1,i2,...,ik(A).

Приклад: Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr1V={a}, Pr2V={b,c}, Pr2, 3V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

Джерела[ред.ред. код]

Математична логіка Це незавершена стаття з теорії множин.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.