Теорема двоїстості Фенхеля

Теорема двоїстості Фенхеля — це результат теорії опуклих функцій, що носить ім'я німецького математика Вернера Фенхеля .

Нехай ƒ — власна опукла функція на $\mathbb {R} ^{n}$, а g — власна увігнута функція на $\mathbb {R} ^{n}$. Тоді, якщо задоволені умови регулярності,

$\inf _{x}(f(x)-g(x))=\sup _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p)).$

де $f^{\star }$ є опуклим спряженням функції ƒ (яке називають перетворенням Фенхеля — Лежандра), а $g_{\star }$ — увігнутим спряженням функції g. Тобто,

$f^{\star }\left(x^{*}\right):=\sup \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}$

$g_{\star }\left(x^{*}\right):=\inf \left\{\left.\left\langle x^{*},x\right\rangle -g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}$

Математична теорема

Нехай X і Y — банахові простори, $f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ і $g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ — опуклі функції, а $A:X\to Y$ — обмежене лінійне відображення. Тоді задачі Фенхеля

$p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}$

$d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}$

задовольняють слабкій двоїстості, тобто $p^{*}\geqslant d^{*}$ . Зауважимо, що $f^{\star },g^{\star }$ є опуклими спряженнями функцій f і g відповідно, а $A^{*}$ є спряженим оператором. Функцію збурень для цієї двоїстої задачі задає формула $F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)$ .

Припустимо, що f, g і A задовольняє або

1. f і g напівнеперервні знизу і $0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)$, де $\operatorname {core}$ — алгебрична внутрішність , а $\operatorname {dom} h$ де h — деяка функція, є множиною $\{z:h(z)<+\infty \}$, або
2. $A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset$, де $\operatorname {cont}$ — це точки, де функція неперервна.

Тоді має місце сильна двоїстість, тобто $p^{*}=d^{*}$. Якщо $d^{*}\in \mathbb {R}$, то супремум досягається.

Одновимірна ілюстрація

На малюнку ілюструється задача мінімізації в лівій частині рівності. Шукається значення змінної x, такої, що вертикальна відстань між опуклою і увігнутою кривою в точці x настільки мала, наскільки можливо. Положення вертикальної прямої на малюнку (приблизно) оптимальне.

Наступний малюнок ілюструє задачу максимізації у правій частині рівності. Дотичні, проведені до кожної кривої, мають однаковий нахил p. Задача полягає в уточненні значення p так, щоб дві дотичні були якнайдалі одна від одної (точніше так, щоб точки перетину їх із віссю y були якнайдалі одна від одної). Механічно, можна уявити дотичні як металеві стрижні, з'єднані вертикальними пружинами, які їх розштовхують, а параболи обмежують положення стрижнів.

Теорема Фенхеля стверджує, що ці дві задачі мають один і той самий розв'язок. Точки, що мають мінімальне вертикальне розділення, також є точками дотику для максимально розсунутих паралельних дотичних.

Див. також

• Перетворення Лежандра
• Опукле спряження
• Теорема Моро
• Двоїстість Вольфа

Література

• R. Tyrrell Rockafellar. Convex Analysis. — Princeton University Press, 1996. — С. 327. — ISBN 0-691-01586-4.
• Jonathan Borwein, Qiji Zhu. Techniques of Variational Analysis. — Springer, 2005. — ISBN 978-1-4419-2026-3.