Тотожність Капеллі

Тотожність Капеллі — аналог матричного співвідношення $\mathrm {det} (AB)=\mathrm {det} (A)\,\mathrm {det} (B)$ для диференціальних операторів з некомутуючими елементами, пов'язаних з представленням алгебри Лі ${\mathfrak {gl}}_{n}$. Використовується для співвіднесення інваріанта ${\mathsf {f}}$ з інваріантом $\Omega {\mathsf {f}}$, де $\Omega$ — це $\Omega$-процес Келі. Названо за іменем Альфредо Капеллі, який встановив цей результат в 1887 році.

Формулювання

Нехай $x_{ij}$ для $i,j=1,\dots ,n$ — комутуючі змінні і $E$ — поляризаційний оператор:

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}$.

Тотожність Капеллі стверджує, що такі диференціальні оператори, виражені як визначники, рівні:

${\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.$

Обидві сторони цієї рівності - диференціальні оператори. Визначник в лівій частині має некомутуючі елементи, і при розкладанні зберігає порядок своїх множників зліва направо. Такий визначник часто називають визначником за стовпцями, так як він може бути отриманий за рахунок розкладання визначника за стовпцями, починаючи з першого стовпчика. Це може бути формально записано як

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},$

де в добутку першими йдуть елементи з першого стовпчика, потім з другого і так далі. Визначник в другому множнику правої частини рівності є Омега процес Келі, а в першому — визначник Капеллі.

Оператори E_ij можуть бути записані в матричній формі:

$E=XD^{t},$

де $E,X,D$ — матриці з елементами E_ij, x_ij, ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ відповідно. Якщо всі елементи в цих матрицях комутують, тоді очевидно $\det(E)=\det(X)\det(D^{t})$.

Посилання

• Capelli, Alfredo (1887), Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation Ω auf gewöhnliche Polar-Operationen, Mathematische Annalen, Berlin / Heidelberg: Springer, 29 (3): 331—338, doi:10.1007/BF01447728, ISSN 1432-1807
• Howe, Roger (1989), Remarks on classical invariant theory, Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 313 (2): 539—570, doi:10.2307/2001418, ISSN 0002-9947, JSTOR 2001418, MR 0986027
• Howe, Roger; Umeda, Toru (1991), The Capelli identity, the double commutant theorem, and multiplicity-free actions, Mathematische Annalen, 290 (1): 565—619, doi:10.1007/BF01459261
• Umeda, Tôru (1998), The Capelli identities, a century after, Selected papers on harmonic analysis, groups, and invariants, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, т. 183, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., с. 51—78, ISBN 978-0-8218-0840-5, MR 1615137
• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255, процитовано 03/2007/26
• Umeda, Toru (2000), On Turnbull identity for skew-symmetric matrices, Proc. Edinburgh Math. Soc., 43 (2): 379—393, doi:10.1017/S0013091500020988