Точка перегину

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції y = x³ з точкою перегину (0,0), що є сідловою точкою

В математиці, точкою перегину, плоскої кривої називається точка кривої в якій змінюється знак кривизни. Якщо крива є графіком функції, то в цій точці опукла частина функції відділяється від вгнутої.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо в деякому околі точки перегину a існує перша похідна, то вона є також точкою екстремуму для f′(x).
  • Якщо в деякому околі також існує похідна другого порядку то достатньою умовою того, що a — точка перегину є зміна знаку другої похідної в цій точці.
  • Якщо в точці перегину існує дотична, то вона перетинає криву в даній точці. Іноді цю властивість використовують як означення точки перегину, однак з виконання цієї властивості не випливає властивість з означення точки перегину. Прикладом цього може бути функція:
f(x) = \left\{
\begin{array}{c l}
  x^{5}(1+\sin^2(\frac{1}{x})) & x\ne0\\
  0 & x=0
\end{array}
\right.

Значення другої похідної в точці x=0 для цієї функції рівне нулю, отже дотичною в нулі буде пряма y=0. Ця пряма також перетинає графік функції в точці дотику, однак точка x=0 не є точкою перегину оскільки в довільному околі цієї точки знак другої похідної міняється нескінченну кількість разів.

Класифікація[ред.ред. код]

Точки перегину можна класифікувати в залежності від того чи рівна нулю похідна f′(x) .

  • якщо f′(x) рівна нулю, точка називається стаціонарною точкою перегину, або сідловою точкою
  • якщо f′(x) не рівна нулю, точка називається нестаціонарною точкою перегину

Прикладом стаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x3. Прикладом нестаціонарної точки є точка (0;0) на графіку функції y = x + x3.

Література[ред.ред. код]

  • Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1969. — Т. 1.