Формула Стірлінга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Формула Стірлінґа)
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Відношення (ln n!) до (n ln n − n) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1.

Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n, названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формальне твердження формули

або

Збіжність та похибки

[ред. | ред. код]

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для та :

де (ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень : для дійсних додатних z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифма від n!:

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів або гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

Спеціальні формули

[ред. | ред. код]
та
при

Доведення

[ред. | ред. код]

Грубо кажучи, найпростішу версію формули Стірлінґа можна швидко отримати, наближаючи суму

до інтегралу

Повна формула разом із точною похибкою може бути отримана наступним чином.Замість наближення n!, розглядається логарифм натуральний оскільки він є функцією, яка повільно змінюється

Від правої частини рівняння віднімаємо

і наближуємо методом трапецій інтеграл

Похибка в цьому наближенні задається формулою Ейлера—Маклорена

де Bkчисла Бернуллі та Rm,n — залишковий член у формулі Ейлера—Маклорена. Перейдемо до границі

Позначимо цю границю як y. Оскільки залишок Rm,n у формулі Ейлера—Маклорена задовольняє

де ми використовуємо нотацію Ландау ,об'єднуючи вищенаведені рівняння, отримуємо наближену формулу в її логарифмічній формі

Взявши експоненту обох сторін і вибираючи будь-яке натуральне m,отримуємо формулу з невідомою величиною \mathrm{e}y. Для m = 1 формула набуває вигляду

Величина може бути знайдена, якщо в обох сторонах перейти до границі при та застосувавши формулу Валліса, яка показує, що . Таким чином, отримаємо формулу Стірлінґа

Історія

[ред. | ред. код]

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

Стірлінґ встановив що константа дорівнює .

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х. {{cite book}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)