Формула Стірлінґа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Відношення (ln n!) до (n ln n − n) при n прямуючому до нескінченості прямує до 1.

Формула Стірлінґа є наближенням для факторіалів при великих значеннях n, названа на честь Джеймса Стірлінґа. Формальне твердження формули

або

Збіжність та похибки[ред.ред. код]

Формула Стірлінґа отримується із Асимптотичного розкладу Стірлінга для та :

де (ряд Стірлінґа)

Ряд Стірлінґа особливо корисний для великих значень : для дійсних додатніх z абсолютна похибка менша ніж абсолютна величина останнього із взятих елементів ряду.

Рядом Стірлінґа також називається асимптотичний розклад логарифму від n!:

Відносна похибка формули Стірлінґа спадає із зростанням n, ця формула часто використовується для обчислення відношення двох факторіалів аба гамма-функцій, оскільки в цьому випадку відносна похибка особливо важлива. Зауважимо зокрема що Формула Стірлінґа є просто першим наближенням для ряду Стірлінґа.

Спеціальні формули[ред.ред. код]

та
при

Доведення[ред.ред. код]

Формулу та оцінку похибок можна отримати, розглядаючи натуральний логарифм

;

та використовуючи формулу Ейлера — Маклорена для отримання формули у логарифмічній формі:

Або можна її отримати із використанням методу найшвидшого спуску.

Історія[ред.ред. код]

Формулу вперше відкрив Абрахам де Муавр у формі

Стірлінґ встановив що константа дорівнює .

Джерела[ред.ред. код]

  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х Перевірте значення |isbn= (довідка). 
  • Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научних работников и инженеров"