Функціонал Шредінгера

У математичній фізиці деякі підходи до квантової теорії поля є популярнішими за інші. З історичних причин картина Шредінгера менш популярна, ніж методи простору Фока. У перший час квантової теорії поля збереження симетрій, таких як інваріантність Лоренца, їх проявлення і доведення ренормалізації мали вирішальне значення. Картина Шредінгера не є проявною інваріантністю Лоренца, а його ренормалізовність була представлена тільки в 1980-х роках Куртом Зіманціком (1981).

В межах картини Шредінгера, Шредінгерівський хвильовий функціонал виділяється як, імовірно, найбільш корисний та універсальний функціональний інструмент, хоча на даний момент інтерес до нього є предметним.

Функціонал Шредінгера, у його найпростішій формі, є генератором перекладу в часі стану хвильових функціоналів. Простими словами, він визначає, як еволюціонує квантова система частинок з часом та як виглядають наступні системи.

Передумови

Квантова механіка визначається за просторовими координатами 𝑥, на які діє група Галілея, і відповідні оператори діють на її стан як 𝑥^𝜓(𝑥) = 𝑥𝜓(𝑥). Стан характеризується хвильовою функцією 𝜓(𝑥) = ⟨𝑥|𝜓⟩, отриманою проектуванням на власні стани координат, визначені оператором координати 𝑥^|𝑥⟩ = 𝑥|𝑥⟩. Ці власні стани не є стаціонарними. Часова еволюція породжується гамільтоніаном і дає рівняння Шредінгера 𝑖∂/∂𝑡|𝜓(𝑡)⟩ = 𝐻^|𝜓(𝑡)⟩.

Проте, у квантовій теорії поля координата є оператором поля${\hat {\phi }}_{\mathbf {x} }={\hat {\phi }}(\mathbf {x} )$, який впливає на хвильову функціональну стану таким чином:

${\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\operatorname {\phi } \left(\mathbf {x} \right)\Psi \left[\phi (\cdot )\right],$

де "⋅" позначає незафіксований просторовий аргумент. Ця хвильова функціональна

$\Psi \left[\phi (\cdot )\right]=\left\langle \phi (\cdot )|\Psi \right\rangle$

добувається за допомогою власних станів поля

${\hat {\phi }}(\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle =\Phi (\mathbf {x} )\left|\Phi (\cdot )\right\rangle ,$

які індексуються невикористовуваними конфігураціями "класичного поля" Φ (⋅). Ці власні стани, подібно до власних станів позиції вище, не є стаціонарними. Часова еволюція генерується гамільтоніаном, результатом якого є рівняння Шредінгера,

$i\partial _{0}\left|\Psi (t)\right\rangle ={\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle .$

Отже, стан у квантовій теорії поля, в теорії, є функціональним перехресним поділом конфігурацій полів.

Приклад: Скалярне поле

У квантовій теорії поля (як приклад) квантове скалярне поле ${\hat {\phi }}(x)$, в повноцінній аналогії з одночастинковим квантовим гармонійним осцилятором, власний стан цього квантового поля з "класичним полем" $\phi (x)$ ( c-число ) як його власне значення,

${\hat {\phi }}(x)\left|\phi \right\rangle =\phi \left(x\right)\left|\phi \right\rangle$

є (Schwartz, 2013)

$\left|\phi \right\rangle \propto e^{-\int dx{\frac {1}{2}}~(\phi (x)-{\hat {\Phi }}_{+}(x))^{2}}\left|0\right\rangle$

де ${\hat {\Phi }}_{+}\left(x\right)$ це частина ${\hat {\phi }}\left(x\right)$, що включає лише оператори створення $a_{k}^{\dagger }$ . Для осцилятора це відповідає зміні представлення / відображення до стану |x⟩ зі станів Фока.

Для незалежного від часу гамільтоніана H, функціонал Шредінгера визначається як

${\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]=\langle \,\phi _{2}\,|e^{-iH(t_{2}-t_{1})/\hbar }|\,\phi _{1}\,\rangle .$

В інтерпритації Шредінгера ця функціональна залежність породжує часові трансляції функціоналів стану через

$\Psi [\phi _{2},t_{2}]=\int \!{\mathcal {D}}\phi _{1}\,\,{\mathcal {S}}[\phi _{2},t_{2};\phi _{1},t_{1}]\Psi [\phi _{1},t_{1}].$

Стани

Нормалізований вакуумний стан вільного поля хвильової функціоналу є гаусівським

$\Psi _{0}[\phi ]=\det {}^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})\phi ({\vec {y}})}=\det {}^{\frac {1}{4}}\left({\frac {K}{\pi }}\right)\;e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi },$

де коваріація K є

$K({\vec {x}},{\vec {y}})=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}\,e^{i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}.$

Це аналогічно (перетворенню Фур'є від) добутку основного стану кожного режиму k приблизно в межі континууму (Hatfield 1992).

$\Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]=\lim _{\Delta k\to 0}\;\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}})^{2}{\frac {\Delta k^{3}}{(2\pi )^{3}}}}\to \left(\prod _{\vec {k}}\left({\frac {\omega _{\vec {k}}}{\pi }}\right)^{\frac {1}{4}}\right)e^{-{\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\omega _{\vec {k}}{\tilde {\phi }}(|{\vec {k}}|)^{2}}.$

Кожен режим k входить як незалежний квантовий гармонійний осцилятор. Одночастинкові стани отримуються збудженням одного режиму і мають таку форму:

$\Psi [\phi ]\propto \int d{\vec {x}}\int d{\vec {y}}\,\phi ({\vec {x}})K({\vec {x}},{\vec {y}})f({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ]=\phi \cdot K\cdot f\,e^{-{\frac {1}{2}}\phi \cdot K\cdot \phi }.$

Це є прикладом того, коли додавання збудження у k → 1 дає (Hatfield 1992):

$\Psi _{1}[{\tilde {\phi }}]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}{\tilde {\phi }}({\vec {k}}_{1})\Psi _{0}[{\tilde {\phi }}]$

$\Psi _{1}[\phi ]=\left({\frac {2\omega _{k_{1}}}{(2\pi )^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\int d^{3}y\,e^{-i{\vec {k}}_{1}\cdot {\vec {y}}}\phi ({\vec {y}})\Psi _{0}[\phi ].$

(Фактор $(2\pi )^{-3/2}$ випливає з налаштування Хетфілда $\Delta k=1$ . )

Приклад: Ферміонне поле

Для наочності розглянемо безмасове поле Вейля–Майорани ${\hat {\psi }}(x)$ у 2D просторі в SO ⁺ (1, 1), але це рішення узагальнюється на будь-який масивний дираківський біспінор у SO ⁺ (1, 3). Простір конфігурацій складається з функціоналів $\Psi [u]$ антикомутуючих полів зі значеннями Грассмана u (x). Ефект від 𝜓^ (x) поля полягає в:

${\hat {\psi }}(x)|\Psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(u(x)+{\frac {\delta }{\delta u(x)}}\right)|\Psi \rangle .$

Література

• Браян Хетфілд, Квантова теорія поля точкових частинок і струн . Еддісон Веслі Лонгман, 1992 рік. Дивіться розділ 10 «Вільні поля в представленні Шредінгера».
• Канатчиков І.В. «Доканонічне квантування та хвильовий функціонал Шредінгера». фіз. Lett. А 283 (2001) 25 – 36. Eprint arXiv:hep-th/0012084, 16 сторінок.
• R. Jackiw, "Картина Шредінгера для бозонної та ферміонної квантової теорії поля". У математичній квантовій теорії поля та споріднених темах: матеріали Монреальської конференції 1987 року, що відбулася 1–5 вересня 1987 року (ред. Дж. С. Фельдман і Л. М. Розен, Американське математичне товариство 1988).
• H. Reinhardt, C. Feuchter, "Про хвильовий функціонал Янга-Мілса в кулонівській калібруванні". фіз. Рев. Д 71 (2005) 105002. Eprint arXiv:hep-th/0408237, 9 сторінок.
• Д. В. Лонг, Г. М. Шор, «Функціональні стани хвилі Шредінгера та вакуумні стани у викривленому просторі-часі». Nucl. фіз. Б 530 (1998) 247 – 278. Eprint arXiv:hep-th/9605004, 41 сторінка.
• Курт Симанзік, "Представлення Шредінгера та ефект Казимира в перенормованій квантовій теорії поля". Nucl. фіз. Б 190 (1981) 1–44, doi:10.1016/0550-3213(81)90482-X .
• К. Симанзік, "Зображення Шредінгера в перенормованій квантовій теорії поля". Розділ «Структурні елементи у фізиці елементарних частинок і статистичній механіці», Інститути передових досліджень НАТО, серія 82 (1983) стор. 287–299, doi:10.1007/978-1-4613-3509-2_20 .
• Мартін Люшер, Раджамані Нараянан, Пітер Вайс, Уллі Вольф, «Функціонал Шредінгера — перенормований дослід для неабелевих калібрувальних теорій». Nucl. фіз. Б 384 (1992) 168–228, doi:10.1016/0550-3213(92)90466-O . Eprint arXiv:hep-lat/9207009 .
• Метью Шварц (2013). Квантова теорія поля та стандартна модель, Cambridge University Press, Ch.14.