Фібономіальний коефіцієнт
У математиці фібономіальні коефіцієнти або біноміальні коефіцієнти Фібоначчі визначаються як
- ,
де і — це невід'ємні цілі числа, , — -е число Фібоначчі, а — факторіал Фібоначчі числа , тобто
де — порожній добуток[en], що дорівнює 1.
Частинні значення[ред. | ред. код]
Фібономіальні коефіцієнти — це натуральні числа. Деякі частинні значення:
- ,
- ,
Фібономіальний трикутник[ред. | ред. код]
Фібономіальні коефіцієнти (послідовність A010048 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) подібні до біномінальних коефіцієнтів і їх можна представити у вигляді трикутника, що подібний трикутнику Паскаля.
Ось перші рядки:
1 | |||||||||||||||||
1 | 1 | ||||||||||||||||
1 | 1 | 1 | |||||||||||||||
1 | 2 | 2 | 1 | ||||||||||||||
1 | 3 | 6 | 3 | 1 | |||||||||||||
1 | 5 | 15 | 15 | 5 | 1 | ||||||||||||
1 | 8 | 40 | 60 | 40 | 8 | 1 | |||||||||||
1 | 13 | 104 | 260 | 260 | 104 | 13 | 1 |
З рекурентного співвідношення
випливає, що фібономіальні коефіцієнти завжди натуральні числа.
Фібономіальні коефіцієнти можна представити у термінах біноміальних коефіцієнтів Гауса та числа золотого перетину :
- .
Застосування[ред. | ред. код]
Дов Джарден довів, що фібономіальні коефіцієнти з'являються як коефіцієнти рівняння, що містять степені послідовних чисел Фібоначчі, а саме Джерден довів, що будь-яка узагальнена послідовність Фібоначчі , тобто послідовність, яка визначається рекурентним співвідношенням для кожного , задовольняє рівняння
для кожного цілого числа , і для кожного невід'ємного цілого числа .
Список літератури[ред. | ред. код]
- Benjamin, Arthur T.; Plott, Sean S., A combinatorial approach to Fibonomial coefficients (PDF), Dept. of Mathematics, Harvey Mudd College, Claremont, CA 91711, архів оригіналу (PDF) за 15 лютого 2013, процитовано 4 квітня 2009
- Ewa Krot, An introduction to finite fibonomial calculus, Institute of Computer Science, Bia lystok University, Poland.
- Weisstein, Eric W. Fibonomial Coefficient(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Dov Jarden, Recurring Sequences (second edition 1966), pages 30–33.