Трикутник Паскаля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Перші п'ять рядів трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.

Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.

Правило Паскаля стверджує: якщо

k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)n, тоді

для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

Шаблони і властивості[ред.ред. код]

Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.

Кожне кадр представляє рядок трикутника Паскаля. Кожен стовпчик - це число у двійковому вигляді з найменш значимим бітом внизу. Світлі пікселі представляють одинички і темні - нулі.

Рядки[ред.ред. код]

  • Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка n дорівнює 2n.
  • Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків Послідовність A001142 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел стосується бази натурального логарифму, e.[1][2] А саме, визначимо послідовність sn так:
Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є
і співвідношення цих співвідношень є
Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю
  • Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( 11n, для рядка n). Отже, у рядку 2, ⟨1, 2, 1⟩ стає 112, тоді як ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 115. Цю властивість пояснюють встановлюючи x = 10 у біноміальному розкладі (x + 1)n, і припасовуючи значення до десяткової системи. Але x можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі.
    • У трійковій: 1 2 13 = 42 (16)
    • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 13 = 43 (64)
    • За основою 9: 1 2 19 = 102 (100)
    •               1 3 3 19 = 103 (1000)
    • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 19 = 105 (100000)
    Зокрема, для x = 1 значення в позиціях залишаються сталими (1позиція=1). Отже, їх можна просто додати.
  • Сума квадратів елементів рядка n дорівнює середньому елементу рядка 2n. Наприклад, 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70. У загальній формі:
  • Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка n, де n є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме (n/2 + 1)му числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, 6 − 1 = 5, що є третім числом Каталана і 4/2 + 1 = 3.
  • Також цікавою властивістю є те, що в рядку p де p це просте число, всі елементи рядка діляться на p. Це можна легко довести, оскільки якщо , тоді p не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням і це дільники . Однак, власне p не може з'явитись у дільнику, отже p (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику.
  • Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку n, переведіть n у двійкову систему. Нехай x буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде 2x.[3]
  • Кожен елемент у рядку 2n-1, n ≥ 0, є непарним.[4]
  • Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.

Діагоналі[ред.ред. код]

Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів:

  • Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці.
  • Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку.
  • Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку.
  • Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.

Загальні шаблони і властивості[ред.ред. код]

Трикутник Серпінського
  • Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського.[5] Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.
Трикутник Паскаля викладений на шахівниці дає кількість відмінних шляхів до кожної комірки, якщо дозволені лише кроки праворуч і додолу.
  • Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Примітки[ред.ред. код]

  1. Brothers, H. J. (2012). Finding e in Pascal’s triangle. Mathematics Magazine 85: 51. doi:10.4169/math.mag.85.1.51. .
  2. Brothers, H. J. (2012). Pascal's triangle: The hidden stor-e. The Mathematical Gazette 96: 145–148. .
  3. Fine, N. J. (1947). Binomial coefficients modulo a prime. American Mathematical Monthly 54: 589–592. doi:10.2307/2304500. MR 0023257. . Дивись зокрему Теорему 2, яка дає узагальнення для всіх простих модулів.
  4. Hinz, Andreas M. (1992). Pascal's triangle and the Tower of Hanoi. The American Mathematical Monthly 99 (6): 538–544. doi:10.2307/2324061. MR 1166003. . Hinz приписує це спостереження книзі 1891 року Франсуа Едуард Анатоль Люка, Théorie des nombres (p. 420).
  5. Wolfram, S. (1984). Computation Theory of Cellular Automata. Comm. Math. Phys. 96. с. 15–57. Bibcode:1984CMaPh..96...15W. doi:10.1007/BF01217347. 

Посилання[ред.ред. код]