Трикутник Паскаля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Перші п'ять рядів трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.

Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.

Правило Паскаля стверджує: якщо

k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)n, тоді

для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

Шаблони і властивості[ред.ред. код]

Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.

Кожне кадр представляє рядок трикутника Паскаля. Кожен стовпчик - це число у двійковому вигляді з найменш значимим бітом внизу. Світлі пікселі представляють одинички і темні - нулі.

Рядки[ред.ред. код]

  • Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка n дорівнює 2n.
  • Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків Послідовність A001142 з Енциклопедії послідовностей цілих чисел стосується бази натурального логарифму, e.[1][2] А саме, визначимо послідовність sn так:
Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є
і співвідношення цих співвідношень є
Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю
  • Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( 11n, для рядка n). Отже, у рядку 2, ⟨1, 2, 1⟩ стає 112, тоді як ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 115. Цю властивість пояснюють встановлюючи x = 10 у біноміальному розкладі (x + 1)n, і припасовуючи значення до десяткової системи. Але x можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі.
    • У трійковій: 1 2 13 = 42 (16)
    • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 13 = 43 (64)
    • За основою 9: 1 2 19 = 102 (100)
    •               1 3 3 19 = 103 (1000)
    • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 19 = 105 (100000)
    Зокрема, для x = 1 значення в позиціях залишаються сталими (1позиція=1). Отже, їх можна просто додати.
  • Сума квадратів елементів рядка n дорівнює середньому елементу рядка 2n. Наприклад, 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70. У загальній формі:
  • Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка n, де n є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме (n/2 + 1)му числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, 6 − 1 = 5, що є третім числом Каталана і 4/2 + 1 = 3.
  • Також цікавою властивістю є те, що в рядку p де p це просте число, всі елементи рядка діляться на p. Це можна легко довести, оскільки якщо , тоді p не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням і це дільники . Однак, власне p не може з'явитись у дільнику, отже p (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику.
  • Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку n, переведіть n у двійкову систему. Нехай x буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде 2x.[3]
  • Кожен елемент у рядку 2n-1, n ≥ 0, є непарним.[4]
  • Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.

Діагоналі[ред.ред. код]

Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів:

  • Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці.
  • Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку.
  • Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку.
  • Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.

Загальні шаблони і властивості[ред.ред. код]

Трикутник Серпінського
  • Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського.[5] Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.
Трикутник Паскаля викладений на шахівниці дає кількість відмінних шляхів до кожної комірки, якщо дозволені лише кроки праворуч і додолу.
  • Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Примітки[ред.ред. код]

  1. Brothers, H. J. (2012). Finding e in Pascal’s triangle. Mathematics Magazine 85: 51. doi:10.4169/math.mag.85.1.51. .
  2. Brothers, H. J. (2012). Pascal's triangle: The hidden stor-e. The Mathematical Gazette 96: 145–148. .
  3. Fine, N. J. (1947). Binomial coefficients modulo a prime. American Mathematical Monthly 54: 589–592. MR 0023257. doi:10.2307/2304500. . Дивись зокрему Теорему 2, яка дає узагальнення для всіх простих модулів.
  4. Hinz, Andreas M. (1992). Pascal's triangle and the Tower of Hanoi. The American Mathematical Monthly 99 (6): 538–544. MR 1166003. doi:10.2307/2324061. . Hinz приписує це спостереження книзі 1891 року Франсуа Едуард Анатоль Люка, Théorie des nombres (p. 420).
  5. Wolfram, S. (1984). Computation Theory of Cellular Automata. Comm. Math. Phys. 96: 15–57. Bibcode:1984CMaPh..96...15W. doi:10.1007/BF01217347. 

Посилання[ред.ред. код]