Золотий перетин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Image-Golden ratio line.png

φ = (a+b) : a = a : b

У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий перетин (лат. Sectio aurea, англ. Golden ratio), якщо співвідношення їх суми і більшої величини дорівнює співвідношенню більшої і меншої. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою \varphi\,.

Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення, вперше запропоноване давньогрецьким математиком Евклідом. Вживається в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку АВ в такій точці О, що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою — менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною (|АВ| * |OB| = |AO|2).

\varphi = \frac{AO + OB}{AO} = \frac{AO}{OB}

Це рівняння має єдиний додатний розв'язок

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484\dots

Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.

Число \varphi\, деколи називають золотим числом.

Наближення[ред.ред. код]

Наближення Золотого перетину з точністю 150 знаків після десяткової коми:

1,61803 39887 49894 84820 45868
  34365 63811 77203 09179 80576
  28621 35448 62270 52604 62818
  90244 97072 07204 18939 11374
  84754 08807 53868 91752 12663
  38622 23536 93179 31800 60766

Історія[ред.ред. код]

Математичні властивості[ред.ред. код]

Обчислення значення золотого перетину[ред.ред. код]

Золотий перетин \varphi можна обчислити безпосередньо з означення:

 \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

Праве рівняння дає a=b\varphi\,. Підставляючи цю рівність у ліву частину:

\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.

Скоротивши b\, отримаємо:

\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.

Помноживши обидві частини на \varphi\, після перестановки отримаємо:

\varphi^2 - \varphi - 1 = 0.

Це квадратне рівняння має два розв'язки, один з яких є додатнім

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,

Зв'язок із числами Фібоначчі[ред.ред. код]

Спіраль Фібоначчі

Золотий перетин є границею відношення двох сусідніх членів у послідовності Фібоначчі:

\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.

При цьому члени послідовності \frac{F_{n+1}}{F_n} збігаються до \varphi\, поперемінно — один елемент знизу, наступний згори і т.д. Наприклад

\frac{F_6}{F_5}=\frac{8}{5}=1,6<\varphi<\frac{F_7}{F_6}=\frac{13}{8}=1,625

Формула Біне виражає за допомогою \varphi\, значення числа Фібоначчі F_n\, в явному вигляді:

F_n = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\approx\frac{\varphi^n}{\sqrt{5}}\quad (n\geq 1).

Окрім цього, послідовні степені числа \varphi\, задовільняють рекурентному співвідношенню ідентичному до чисел Фібоначчі:

\varphi^{n+2} = \varphi^{n+1} + \varphi^n.\,

Спіраль Фібоначчі (див. рисунок) є наближенням золотої спіралі.

Золотий перетин у пентаграмі[ред.ред. код]

Червоний : Зелений =
Зелений : Синій =
Синій : Фіолетовий = \varphi\,

Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі, який вважався магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.

Пентаграма містить п'ять гострокутних та п'ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.

Золотий перетин і гармонія в мистецтві[ред.ред. код]

Золотий перетин і зорові центри

Під «правилом золотого перетину» в архітектурі та мистецтві зазвичай розуміються композиції, що містять пропорції, близькі до золотого перетину.

Деякі з тверджень на доказ гіпотези знання древніми правила золотого перетину:

  • Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перерізу при їх створенні.
  • Згідно Ле Корбюзьє, в рельєфі з храму фараона Сеті I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають золотому перетину. У фасаді давньогрецького храму Парфенона також присутні золоті пропорції. У циркулі з давньоримського міста Помпеї (музей в Неаполі) також закладені пропорції золотого перетину, тощо. При обговоренні оптимальних співвідношень сторін прямокутників (розміри аркушів паперу A0 і кратні, розміри фотопластинок (6:9, 9:12) або кадрів фотоплівки (часто 2:3), розміри кіно- і телевізійних екранів - наприклад, 4:3 або 16:9) були випробувані самі різні варіанти. Виявилося, що більшість людей не сприймає золотий перетин як оптимальний і вважає його пропорції «занадто витягнутими».
  • Слід зазначити, що сама пропорція є, скоріше, еталонним значенням, матрицею, відхилення від якої у біологічних видів, можливо, викликані пристосуванням до навколишнього середовища в процесі життя. Прикладом таких «відхилень» може служити морська камбала.

Приклади свідомого використання[ред.ред. код]

Мозаїка Пенроуза

Починаючи з Леонардо да Вінчі, багато художників свідомо використовували пропорції «золотого перетину». Російський зодчий Жолтовський використовував золотий перетин в своїх проектах [1]. Йоганн Себастьян Бах у своїй триголосній інвенції E-dur № 6 BWV 792 використовував двочастну форму, в якій співвідношення розмірів частин відповідає пропорціям золотого перетину. 1 частина - 17 тактів, 2 частина - 24 такти (невеликі невідповідності вирівнюються за рахунок Фермата в 34 такти).

Геометрія плану гробниці фараона Стародавнього Єгипту Менеса побудована з використанням пропорції, яку ми зараз пов'язуємо з золотим перетином [2].

Золотий перетин в біології та медицині[ред.ред. код]

Золотий перетин у природі

Живі системи також мають властивості, характерні для «золотого перетину». Наприклад: пропорції тіл, спіральні структури або параметри біоритмів [3] тощо.

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.
  1. Золотий запас зодчества
  2. Стелік Н. Є. «Гармонія давньоєгипетської архітектури.» Гірки: БГСХА. 2009, 108 с.
  3. Цвєтков, В. Д. Серце, золотий перетин і симетрія. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997. - 170 с.