Фільтр низьких частот

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Чотириполюсник із RC-фільтром
Амплітудно-частотна характеристика низькочастотного фільтру

Фі́льтр ни́зьких часто́т (англ. low-pass filter) — фільтр, який пропускає низькі частоти, та послаблює частоти, розташовані вище частоти зрізу фільтру (англ. cutoff frequency)[1].

RC фільтр[ред. | ред. код]

На малюнку праворуч зображена схема фільтру на основі RC-ланцюга, який відсікає високочастотні коливання. Реактивний опір конденсатора зменшується з частотою, а отже конденсатор пропускає тільки високочастотні сигнали, й тим краще, чим вища частота. У результаті на високих частотах конденсатор шунтує сигнал. На виході такого чотириполюсника залишиться лише сигнал низької частоти.

Характерна частота RC фільтру:

.

Характеристики[ред. | ред. код]

Крутість відтинання (англ. slope) (вимірюється у дБ/декада або дБ/октава) визначає зміну характеристики фільтра при переході від області пропускання до області редукції.

Реалізація для дискретного часу[ред. | ред. код]

Існує багато цифрових фільтрів, які розроблені так, щоб повторювати характеристики фільтрів низьких частот. Широко використовуються як, рекурсивні фільтри так і фільтри із скінченною імпульсною характеристикою, а також фільтри із застосуванням перетворення Фур'є.

Простий рекурсивний фільтр[ред. | ред. код]

Ефект рекурсивного фільтру низьких частот можна повторити на комп'ютері якщо проаналізувати поведінку RC фільтру в часовій області і після того дискретизвувати модель.

Простий RC-фільтр низьких частот

Із діаграми електричного кола, що праворуч, відповідно до Законів Кірхгофа і визначення ємності маємо:

 

 

 

 

(V)

 

 

 

 

(Q)

 

 

 

 

(I)

де це заряд, що накопичується на ємності у момент часу . Підстановка рівняння Q у рівняння I дасть , що в свою чергу можна підставити в рівняння V, таким чином:

Це рівняння можна дискретизувати. Для простоти, припустимо що інтервали часу входу і виходу розподілені рівномірно в часі і мають довжину . Нехай інтервали для задаються послідовністю , а інтервали задаються послідовністю , що відповідають однаковим точкам у часі. Виконавши ці підстановки:

І перевпорядкувавши ці терми, отримаємо рекурентне співвідношення

Це реалізація у дискретному часі простого RC фільтра низьких частот із експоненційно згладженим рухомим середнім

За визначенням, коефіцієнт згладжування . Вираз для дозволяє отримати еквівалент для дискретного часту для сталого періоду і коефіцієнта згладжування :

Пригадавши, що

звідси

тоді і співвідносяться як:

і

.

Якщо , стала дорівнює довжині інтервалів. Якщо , тоді набагато більша за інтервал, і .

Рекурсивне рівняння для фільтра дозволяє розрахувати вихідні значення за даними інтервалами на основі вхідних значень і значення виходу на попередньому інтервалі. Наступний алгоритм на псевдокоді алгоритм моделює роботу фільтру низьких частот на послідовності цифрових даних:

 // Return RC low-pass filter output samples, given input samples,
 // time interval dt, and time constant RC
 function lowpass(real[0..n] x, real dt, real RC)
   var real[0..n] y
   var real α := dt / (RC + dt)
   y[0] := α * x[0]
   for i from 1 to n
       y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1]
   return y

Цикл, який підраховує кожний результат для n можна спростити у його еквівалент:

   for i from 1 to n
       y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

Це означає, що зміна одного вихідного відліку фільтру до значення наступного відліку пропорційна різниці між попереднім результатом і наступним входом.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]

  • Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники (в 2-х томах) = The Art of Electronics. — М.: Мир, 1980. — Т. 2. — 590 с. (рос.)