3d-гіпотеза Калаї
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
3d-гіпотеза Калаї — гіпотеза про мінімальне число граней у центрально-симетричних багатогранників. Сформулював Ґіл Калаї[en] 1989 року.[1]
Гіпотеза доведена для і залишається відкритою для довільних багатогранників у вищих вимірах.
У кожного d-вимірного центрально-симетричного багатогранника є, принаймні, 3d непорожніх граней.
Маються на увазі грані всіх розмірностей, тобто вершини — це нульвимірні грані, ребра — одновимірні грані, …, сам багатогранник — d-вимірна грань. Таким чином для куба отримуємо 8 вершин + 12 ребер + 6 двовимірних граней + сам куб = 27 = 33.
- Рівність досягається для довільного багатогранника Ганнера.
- У тій самій статті Калаї сформулював сильніший варіант гіпотези. А саме, що f-вектор кожного опуклого центрально-симетричного багатогранника домінує у f-вектор, принаймні, одного багатогранника Ганнера тієї ж розмірності. Це означає, що число граней довільної розмірності в не перевищує числа граней тієї ж розмірності в .
- ↑ Kalai, Gil (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, Graphs and Combinatorics, 5 (1): 389—391, doi:10.1007/BF01788696, MR 1554357.