Октаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Октаедр
Октаедр
Тип Правильний многогранник
Грань трикутник
Граней
Ребер
Вершин
Граней при вершині
Тілесний кут

при вершині


ср
Точкова група
симетрії
Октаедрична (Oh)
Двоїстий многогранник Куб
Розгортка
Описана сфера октаедра

Октаедр (грец. οκτάεδρον, від грец. οκτώ, «вісім» і грец. έδρα — «основа») — многогранник з вісьма гранями. Правильний октаедр є одним з п'яти опуклих правильних многогранників[1], так званих платонових тіл; грані правильного октаедра — вісім правильних трикутників.

Правильний октаедр є двоїстим до куба. Він є повним усіканням тетраедра. Правильний октаедр є квадратною біпірамідою в кожному з трьох ортогональних напрямків. Він також є трикутною антипризмою в кожному з чотирьох напрямків.

Октаедр — тривимірний варіант більш загального поняття гіпероктаедр.

Правильний октаедр є тривимірною кулею в манхеттенській метриці.

Правильний октаедр[ред.ред. код]

Правильний октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, в кожній його вершині сходяться 4 ребра.

Розміри[ред.ред. код]

Якщо довжина ребра октаедра дорівнює а, то радіус сфери, описаної навколо октаедра (яка торкається всіх кутів), дорівнює:

,

радіус вписаної в октаедр сфери (яка торкається всіх граней) можна обчислити за формулою:

двогранний кут: , де .

Радіус напіввписаної сфери[en] (яка торкається всіх ребер) дорівнює

Ортогональні проекції[ред.ред. код]

Октаедр має чотири спеціальні ортогональні проекції, центровані ребром, вершиною, гранню і нормаллю до грані. Другий і третій випадок відповідають площинам Коксетера B2 і A2.

Ортогональні проекції
Центровані Ребром Нормаллю

до грані

Вершиною Гранню
Образ Cube t2 e.png Cube t2 fb.png 3-cube t2 B2.svg 3-cube t2.svg
Проективна

симетрія

[2] [2] [4] [6]

Сферична мозаїка[ред.ред. код]

Октаедр можна представити, як сферичну мозаїку і спроектувати на площину за допомогою стереографічної проекції. Ця проекція конформна, зберігає кути, але не довжини і площу. Відрізки на сфері віддзеркалюються в дуги кіл на площині.

Uniform tiling 432-t2.png Octahedron stereographic projection.png

трикутно-центрована

Ортогональна проекція Стереографічна проекція

Декартові координати[ред.ред. код]

Октаедр з довжиною ребра можна помістити в початок координат, так що його вершини лежатимуть на осях координат. Декартові координати вершин тоді будуть

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1).

У x-y-z прямокутній системі координат октаедр з центром з точці (a, b, c) і радіусом r — це множина всіх точок (x, y, z), таких, що

Площа і об'єм[ред.ред. код]

Площа повної поверхні правильного октаедра з довжиною ребра a дорівнює

Об'єм октаедра (V) обчислюється за формулою:

Таким чином, об'єм октаедра в чотири рази більший за об'єм тетраедра з тією ж довжиною ребра, тоді як площа поверхні вдвічі більша (оскільки поверхня складається з 8 трикутників, а у тетраедра — з чотирьох).

Якщо октаедр розтягнути, щоб виконувалася рівність:

то формули для поверхні та об'єму перетворюються на:

Крім того, тензор моментів інерції розтягнутого октаедра дорівнюватиме:

Він зводиться до формули для правильного октаедра, коли:

Геометричні зв'язки[ред.ред. код]

Октаедр являє собою перетин двох тетраедрів

Внутрішня (спільна) частина конфігурації з двох тетраедрів є октаедром, а сама ця конфігурація називається зірчастим октаедром (лат.: stella octangula). Конфігурація є єдиною зірчастою формою октаедра. Відповідно, правильний октаедр є результатом відсікання від правильного тетраедра чотирьох правильних тетраедрів з половиною довжини ребра (тобто повного усікання тетраедра). Вершини октаедра лежать на серединах ребер тетраедра і октаедр пов'язаний з тетраедром так само, як кубооктаедр та ікосододекаедр пов'язані з іншими платоновими тілами. Можна розділити ребра октаедра у відношенні золотого перетину для визначення вершин ікосаедра. Для цього слід розташувати вектори на ребрах, так, щоб всі грані були оточені циклами. Потім ділимо кожне ребро в золотому відношенні вздовж векторів. Отримані точки є вершинами ікосаедра.

Октаедри і тетраедри[en] можна чергувати, щоб побудувати однорідні відносно вершин, ребер і граней стільники, які Фуллер назвав октетною зв'язкою[en]. Це єдина така мозаїка за винятком утвореної кубами, і вона є одним з 28 видів опуклих однорідних стільників[en].

Октаедр унікальний серед платонових тіл у тому, що тільки він має парне число граней при кожній вершині. Таким чином, це єдиний член групи, який має площини симетрії, що не перетинають жодну грань.

Якщо використовувати стандартну термінологію многогранників Джонсона, то октаедр можна назвати квадратною біпірамідою. Усікання двох протилежних вершин призводить до усіченої біпіраміди[en].

Октаедр є 4-зв'язним. Це означає, що потрібно вилучити чотири вершини, щоб роз'єднати ті, що залишилися. Це один з чотирьох 4-зв'язних сімпліціальних добре покритих многогранників, що означає, що всі найбільші незалежні множини вершин мають один і той самий розмір. Інші три многогранники з цією властивістю — п'ятикутна біпіраміда, плосконосий двоклиноїд і нерегулярний многогранник з 12 вершинами і 20 трикутними гранями[2].

  • Октаедр можна вписати в тетраедр, притому чотири з восьми граней октаедра будуть суміщені з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести ребер тетраедра.
  • Октаедр можна вписати в куб, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщені з центрами шести граней куба.
  • В октаедр можна вписати куб, притому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.

Однорідне розфарбування і симетрія[ред.ред. код]

Існує 3 однорідні розфарбовування[en] октаедра, названі за їхніми кольорами граней: 1212, 1112, 1111.

Групою симетрії октаедра є Oh з порядком 48, тривимірна гіпероктаедральна група[en]. У підгрупи цієї групи входять D3d (порядку 12), група симетрії трикутної антипризми, D4h (порядку 16), група симетрії квадратної біпіраміди, і Td (порядку 24), група симетрії повністю усіченого тетраедра. Ці симетрії можна підкреслити шляхом різного розфарбовування граней.

Назва Октаедр Повністю
усічений

тетраедр
(Тетратетраедр)

Трикутна антипризма Квадратна біпіраміда Ромбічна біпіраміда
Рисунок

(Розфарбовування граней)

Uniform polyhedron-43-t2.png

(1111)

Uniform polyhedron-33-t1.png

(1212)

Trigonal antiprism.png

(1112)

Square bipyramid.png

(1111)

Rhombic bipyramid.png

(1111)

Діаграма Коксетера CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png
= CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.png


CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png

CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
Символ Шлефлі {3,4} r{3,3} s{2,6}

sr{2,3}

ft{2,4}

{ } + {4}

ftr{2,2}

{ } + { } + { }

Символ Візоффа[en] 4 | 3 2 2 | 4 3 2 | 6 2

| 2 3 2

Симетрія Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) D3d, [2+,6], (2*3)

D3, [2,3]+, (322)

D4h, [2,4], (*422) D2h, [2,2], (*222)
Порядок 48 24 12

6

16 8

Розгортки[ред.ред. код]

Існує одинадцять варіантів розгортки октаедра[3].

Двоїстість[ред.ред. код]

Октаедр є двоїстим до куба.

Dual Cube-Octahedron.svg

Огранювання[ред.ред. код]

Однорідний тетрагемігексаедр є огранюванням з тетраедральною симетрією правильного октаедра, який зберігає розташування ребер і вершин многогранника. Огранювання має чотири трикутні грані і 3 центральні квадрати.

Uniform polyhedron-33-t1.png

Октаедр

Tetrahemihexahedron.png

тетрагемігексаедр

Неправильні октаедри[ред.ред. код]

Такі многогранники комбінаторно еквівалентні правильному октаедру. Вони всі мають шість вершин, вісім трикутних граней і дванадцять ребер, що відповідає один до одного параметрам правильного октаедра.

  • Трикутні антипризми — дві грані являють собою рівносторонні трикутники, що лежать у паралельних площинах і мають загальну вісь симетрії. Решта шість трикутників рівнобедрені.
  • Чотирикутні біпіраміди, в яких щонайменше один екваторіальний чотирикутник лежить у площині. Правильний октаедр є спеціальним випадком, коли всі три чотирикутники є плоскими квадратами.
  • многогранник Шенгардта, неопуклий многогранник, який можна розбити на тетраедри без введення нових вершин.

Інші опуклі восьмигранники[ред.ред. код]

Шестикутна
призма
Усічений
тетраедр
Чотирикутний
трапецоедр

У загальному випадку, октаедром можна назвати будь-який многогранник з вісьмома гранями. Правильний октаедр має 6 вершин і 12 ребер, мінімальна кількість для октаедра. Неправильні восьмигранники можуть мати до 12 вершин і 18 ребер[4]. Існує 257 топологічно різних опуклих восьмигранників, виключаючи дзеркальні копії. Зокрема, є 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранників з числом вершин від 6 до 12 відповідно[5][6]. (Два многогранники «топологічно різні», якщо вони мають внутрішньо різне розташування граней і вершин, так що немає можливості перетворити одне тіло в інше просто зміною довжини ребер або кутів між ребрами або гранями.)

Деякі відомі неправильні восьмигранники:

  • Шестикутна призма: Дві грані є паралельними правильними шестикутниками, шість квадратів з'єднують відповідні пари сторін шестикутників.
  • Семикутна піраміда: Одна грань є семикутником (зазвичай правильним), а решта сім граней трикутниками (зазвичай рівнобедреними). Неможливо домогтися, щоб всі трикутні грані були рівносторонніми.
  • Усічений тетраедр: Чотири грані тетраедра скорочуються до правильних шестикутників і утворюються три додаткові рівносторонні трикутні грані на місці відтятих вершин.
  • Чотирикутний трапецоедр[en]: Вісім граней конгруентні дельтоїдам.

Октаедри у фізичному світі[ред.ред. код]

Октаедри в природі[ред.ред. код]

Октаедр флюориту

Октаедри в мистецтві і культурі[ред.ред. код]

Дві однаково складені змійки Рубіка можуть апроксимувати октаедр.
  • В іграх гральна кісточка у вигляді октаедра відома як «d8».
  • Якщо кожне ребро октаедра замінити одноомним резистором, то загальний опір між протилежними вершинами буде становити 1/2 ома, а між суміжними вершинами — 5/12 ома[7].
  • Шість музичних нот можна розташувати на вершинах октаедра так, що кожне ребро є співзвучну пару, а кожна грань — співзвучну трійку.

Тетраедральна зв'язка[ред.ред. код]

Каркас з повторюваних тетраедрів і октаедрів винайдений Фуллером в 1950-х роках і він відомий як просторова рама[en] і вважається найміцнішою структурою, що чинить опір напругам консольної балки.

Пов'язані многогранники[ред.ред. код]

Правильний октаедр можна збільшити до тетраедра додаванням чотирьох тетраедрів на грані, які чергуються. Додавання тетраедрів до всіх восьми граней утворює зірчастий октаедр.

Triangulated tetrahedron.png Compound of two tetrahedra.png
тетраедр зірчастий октаедр

Октаедр належить до родини однорідних многогранників, пов'язаних з кубом.

Шаблон:Октаедральні усікання

Він також є одним з найпростіших прикладів гіперсимплекса[en], многогранника, утвореного певним перетином гіперкуба з гіперплощиною.

Октаедр входить в послідовність многогранників з символом Шлефлі {3,n}, яка продовжується на гіперболічну площину[en].

Тетратетраедр[ред.ред. код]

Правильний октаедр можна розглядати як повністю усічений тетраедр і можна назвати тетратетраедром. Це можна показати за допомогою розмальованої двома кольорами моделі. При цьому розфарбовуванні октаедр має тетраедральну симетрію.

Порівняння послідовності усікання тетраедра і його двоїстої фігури:

Родина однорідних тетраедральних многогранників[en]
Симетрія: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Двоїсті многогранники
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Вищенаведені тіла можна розуміти як зрізи, ортогональні до довгої діагоналі тесеракта. Якщо розташувати цю діагональ вертикально з висотою 1, то перші п'ять перерізів зверху на висотах r, 3/8, 1/2, 5/8 і s, де r — будь-яке число в інтервалі (0,1/4], а s — будь-яке число в інтервалі [3/4,1).

Октаедр як тетратетраедр існує в послідовності симетрій квазіправильних многогранників і мозаїк з конфігурацією вершин (3.n)2, проходячи від мозаїк на сфері до евклідової площини, а потім гіперболічної площини. У орбіфолдній нотації[en] симетрії *n32 всі ці мозаїки є побудовами Візоффа всередині фундаментальної області симетрії з генерувальними точками на прямому куті області[8][9].

Шаблон:Квазірегулярні-3 мала таблиця

Трикутна антипризма[ред.ред. код]

Як трикутної антипризмы октаедр пов'язаний з сімейством шестикутної диэдральной симетрії. Шаблон:Шестикутні діедральні усікання

Шаблон:Однорідні антипризми

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]