Грань (геометрія)
Грань (у стереометрії) — плоска поверхня, яка є частиною межі геометричного тіла; плоскі багатокутники, які обмежують многогранник, називаються його гранями.
Також гранями називаються дві півплощини, які утворюють двогранний кут.
Отже, в елементарній геометрії основне визначення: грані — плоскі (двовимірні) багатокутники, які обмежують многогранник. Іншою назвою для багатокутної грані є сторона багатокутника. В багатьох слов'янських мовах грань — стінка (стіна): пол. ściana, болг. стена, чеськ. stěna, словац. stena. Близьким поняттям до грані є плитка — елемент теселяції на евклідовій площині.
 Куб має 3 квадратні грані при вершині. |
 Малий зірчастий додекаедр) має 5 пентаграмних[K 1] граней при вершині. Можна розглядати також трикутні грані. |
 Квадратне замощування в евклідовій площині має 4 грані (плитки) при вершині. |
 Замощування п'ятірками квадратів[en] гіперболічної площини має 5 квадратних граней (плиток) при вершині. |
 Тесеракт має 3 квадратні грані при ребрі. |
Поверхня будь-якого опуклого многогранника має ейлерову характеристику
де V — кількість вершин, E — кількість ребер, F — кількість граней. Це рівняння відоме як формула многогранника Ейлера. Отже, кількість граней на 2 більша, ніж різниця кількості ребер та кількості вершин. Наприклад, у куба 12 ребер та 8 вершин, а отже, 6 граней.
У багатовимірній геометрії грані політопа є елементами всіх вимірів.[1][2] Грань розмірності k називають k-вимірною гранню. Наприклад, багатокутні грані звичайного многогранника є двовимірними гранями. В теорії множин набір граней многогранника включає сам многогранник і порожню множину, де остання, для узгодженості, має «розмірність» -1. Для будь-якого політопа (n-вимірного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.
Наприклад, у цьому значенні грані куба включають сам куб (3-вимірна грань), його грані (квадратні, 2-вимірні), ребра (лінійні, 1-вимірні грані), вершини (точкові, 0-вимірні грані) і порожню множину. Нижче перелічено грані 4-політопа:
- 4-вимірна грань — сам 4-політоп;
- 3-вимірні грані — 3-вимірні комірки (многогранники);
- 2-вимірні грані — 2-вимірні ребра (многокутники);
- 1-вимірні грані — 1-вимірні ребра;
- 0-вимірні грані — 0-вимірні вершини;
- порожня множина, що має розмірність −1.
У деяких галузях математики, таких як комбінаторика многогранників, многогранник за визначенням опуклий. Формально грань многогранника P є перетин P з будь-яким замкнутим півпростором, межа якого не перетинається зі внутрішньою частиною P.[3] З цього визначення випливає, що множина граней многогранника включає сам многогранник і порожню множину.[4][5]
В інших галузях математики, таких як теорії абстрактних многогранників та зірчастих многогранників, вимогу опуклості ослаблено. Абстрактна теорія, як і раніше, вимагає, щоб множина граней включала сам політоп і порожню множину.
Комірка — багатогранний елемент (тривимірна грань або 3-грань) 4-вимірного многогранника або 3-вимірної мозаїки або фігури вищої розмірності. Комірки є гранями для 4-політопів і тривимірних мозаїк.
| чотиривимірні політопи | 3-вимірні мозаїки | ||
|---|---|---|---|
| {4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
| Тесеракт має 3 кубічні комірки на ребро.
|
 120-комірник має 3 додекаедричні комірки на ребро.
|
 Кубічний стільник заповнює евклідів 3-вимірний простір кубами з 4 комірками на кожному ребрі.
|
 Додекаедричний стільник порядку 4 заповнює тривимірний гіперболічний простір додекаедрами, по 4 комірки на ребро.
|
У багатовимірній геометрії фасетами (або гіпергранями)[6] n-вимірного політопа є (n−1)-грані (грані розмірності на одиницю меншої, ніж сам політоп).[7] Політоп обмежений своїми гранями.
Наприклад:
- фасетами відрізка є його 0-вимірні грані — вершини;
- фасетами многокутника є його 1-вимірні грані або ребра;
- фасетами многогранника або паркету є їхні 2-вимірні грані;
- гранами чотиривимірного многогранника або тривимірного стільника є їхні 3-вимірні грані або комірки.
- гранями п'ятивимірного многогранника[en] або 4-вимірної мозаїки є їхні 4-вимірні грані.
- Коментарі
- ↑ Оскільки цей многогранник неопуклий, то щоб отримати пентаграмну грань треба відсікти п'ятигранну піраміду, яка стоїть на цій грані.
- Примітки
- ↑ Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, т. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748
- ↑ Grünbaum, 2003.
- ↑ Matoušek, (2002) and Ziegler, (1995) use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting P with either a hyperplane disjoint from the interior of P or the whole space.
- ↑ Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, т. 221 (вид. 2nd), Springer, с. 17
- ↑ Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, т. 152, Springer, ISBN 9780387943657
- ↑ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
- ↑ Matoušek, (2002), p. 87; Grünbaum, (2003), p. 27; Ziegler, (1995), p. 17.
- Погорєлов О. В. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10—11 кл. серед. шк.,— 6-те вид,— К.: Освіта, 2001.— 128 с. — ISBN 966-04-0334-8.
