Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π] Інтегральний косинус — функція , визначена для додатних дійсних чисел формулою :
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\mbox{Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos \,t-1}{t}}dt=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}dt}
де
γ
{\displaystyle \gamma }
стала Ейлера .
Також визначаються пов'язані функції:
c
i
(
x
)
=
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}
C
i
n
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}
Властивості
Ci
(
x
)
=
1
2
(
Ei
(
i
x
)
+
Ei
(
−
i
x
)
)
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Ei} (ix)+\operatorname {Ei} (-ix)\right)}
Для малих x
Ci
(
x
)
≈
γ
+
ln
x
{\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\approx \gamma +\ln x}
З деякими іншими функціями інтегральний косинус пов'язаний співвідношеннями:
∫
0
∞
si
2
(
t
)
d
t
=
π
2
,
{\displaystyle \quad \int _{0}^{\infty }\operatorname {si} ^{2}(t)dt={\frac {\pi }{2}},}
∫
0
∞
sin
(
t
)
si
(
t
)
d
t
=
−
π
4
,
∫
0
∞
Ci
(
t
)
si
(
t
)
d
t
=
−
ln
2.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin(t)\operatorname {si} (t)dt=-{\frac {\pi }{4}},\quad \int _{0}^{\infty }\operatorname {Ci} (t)\operatorname {si} (t)dt=-\ln 2.}
Розклад у ряд Інтегральний косинус можна розкласти в ряд :
Ci
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle {\mbox{Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}}
За допомогою даного ряду визначається також інтегральний косинус від комплексного аргументу. Як функція комплексної змінної інтегральний косинус аналітичний на комплексній площині з розрізом вздовж від'ємної дійсної півосі.
Асимптотичний розклад для
R
e
(
x
)
≫
1
{\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~}
C
i
(
x
)
=
sin
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
.
.
.
)
−
cos
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
.
.
.
)
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
Джерела Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985. 
