Версія від 20:56, 4 січня 2017, створена IhorLviv(обговорення | внесок)(Створена сторінка: '''Теорема Коші — Адамара''' — важливий результат в дійсному і комплексний аналіз|компл...)
Зокрема якщо то ряд є збіжним для всіх комплексних чисел, якщо ж то ряд є збіжним лише в нулі.
Аналог теореми справедливий і для функцій дійсної змінної.
Доведення
Доведемо, що степеневий ряд збігається для і розбігається для .
Тут визначене через границю в твердженні теореми.
Нехай і позначимо Тоді для довільного , існує лише скінченна підмножина чисел для яких . Отож для всіх окрім деякої скінченної кількості, тому ряд збігається якщо .
Навпаки для , для нескінченної кількості , тож якщо , ряд не може збігатися адже його члени не прямують до 0.
Дане доведення справедливе як для додатного скінченного радіуса збіжності, так і для нульового і нескінченного.