Теорема виродженості

Теорема виродженості — математична теорема стосовно оберненої блочної матриці, яка стверджує, що ступінь виродження, тобто розмірність нуль-простору блока в матриці дорівнює ступеню виродження доповняльного блока в оберненій матриці.

Розбиття матриці і оберненої до неї на чотири підматриці:

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}.$

Розбиття у правій частині рівняння повинно бути транспонованим щодо розбиття лівої частини, тобто, якщо A є блоком m-на-n тоді E має бути блоком n-на-m.

Теорема стверджує, що:

${\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{aligned}}$

Загальніше, якщо підматриця утворена з рядків з індексами {i₁, i₂, …, i_m} і стовпчиків з індексами {j₁, j₂, …, j_n}, тоді доповняльна матриця утворена з рядків з індексами {1, 2, …, N} \ {j₁, j₂, …, j_n} і стовпчиків з індексами {1, 2, …, N} \ {i₁, i₂, …, i_m}, де N це розмір цілої матриці. Теорема виродженості стверджує, що розмірність нуль-простору будь-якої підматриці дорівнює розмірності нуль-простору доповняльної підматриці в оберненій матриці.

Доведення

Припустимо, що ${\mbox{n}}(A)\leq {\mbox{n}}(H).$ Якщо це не так, ми можемо довести теорему для матриць

${\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}H&G\\F&E\end{bmatrix}},$

які також обернені одна до одної. Припустимо, що ${\mbox{n}}(H)>0$ інакше ${\mbox{n}}(A)=0$ і теорема доведена.

Коли ${\mbox{n}}(H)=c>0,$ тоді існує матриця $K$ з $c$ лінійно незалежними стовпчиками, такими що $HK=0.$ Отже, домножуючи наступне рівняння на $K$ праворуч:

$AF+BH=0$

ми отримуємо, що

$AFK=0.$

Застосовуючи таку саму дію до відношення

$CF+DH=I,$

маємо, що $CFK=K,$ звідси, використовуючи властивість рангу добутку матриць, у нашому випадку $C$ і $FK,$ робимо висновок, що ${\mbox{rank}}(FK)\geq c.$

Використовуючи ці два твердження разом, ми виводимо

${\mbox{n}}(A)\geq {\mbox{rank}}(FK)\geq c={\mbox{n}}(H).$

Разом із нашим припущенням, що ${\mbox{n}}(A)\leq {\mbox{n}}(H),$ це доводить теорему.