Теорема Адамара про три кола

у комплексному аналізі, теорема Адамара про три кола — це твердження про поведінку голоморфних функцій.

Нехай $f(z)$ буде голоморфною функцією на кільці

$r_{1}\leq \left|z\right|\leq r_{3}.$

Нехай $M(r)$ буде максимумом $|f(z)|$ на колі $|z|=r.$ Тоді, $\log M(r)$ — це опукла функція логарифма $\log(r).$ Більше того, якщо $f(z)$ не у формі $cz^{\lambda }$ для деяких сталих $\lambda$ і $c$, тоді $\log M(r)$ є строго опуклою як функція від $\log(r).$

Висновок теореми можна перефразувати як

$\log \left({\frac {r_{3}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{2})\leq \log \left({\frac {r_{3}}{r_{2}}}\right)\log M(r_{1})+\log \left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right)\log M(r_{3})$

для будь-яких трьох концентричних кіл радіусів $r_{1}<r_{2}<r_{3}.$

Теорема є наслідком теореми Адамара про три прямі. Справді, якщо позначити $g(z)=f(e^{z})$ то $g(z)$ задовольняє умови теореми Адамара про три прямі на області $\{z=x+iy\ |\ \log r_{1}<x<\log r_{1}\}.$ Відповідно, якщо позначити $m:x\mapsto \sup _{y}|g(x+iy)|,$ то $M(r)=m(\log r).$ Згідно теореми Адамара про три прямі $\ln(m(\log r))$ є опуклою функцією і те саме є справедливим для $\log M,$ як функції $\log r.$

Посилання

• Доведення теореми Адамара про три кола на PlanetMath