Теорія нечіткої міри
Теорія нечіткої міри розглядає узагальнені міри, в яких властивість адитивності замінюється більш слабкою властивістю монотонності. У теорії нечітких мір центральним поняттям є нечітка міра (також ємність[1]), яке було введене Чоке[en] в 1953 році і незалежно від нього, визначено Сугено в 1974 році в контексті нечітких інтегралів[en]. Існує цілий ряд різних класів нечітких мір, включаючи міри правдоподібності/переконання[en]; можливості/необхідності; і ймовірнісні міри, які є підмножиною класичних мір.
Визначення
Нехай — домен дискурсу[en] , — клас підмножин , і . функція така, що:
називається нечіткою мірою. Нечітка міра називається нормалізованою або регулярною, якщо .
Властивості нечітких мір
Для будь-яких , нечітка міра:
- адитивна, якщо Для всіх ;
- супермодулярна, якщо ;
- субмодулярні[en], якщо ;
- суперадитивна, якщо для всіх ;
- субадитивна, якщо для всіх ;
- симетрична, якщо при ;
- булева, якщо або .
Розуміння властивостей нечітких мір корисно в застосуванні. Коли нечітка міра використовується для визначення такої функції, як інтеграл Сугено[en] або інтеграл Чоке[en], ці властивості будуть вирішальними для розуміння поведінки функції. Наприклад, інтеграл Шоке щодо адитивної нечіткої міри зводиться до інтеграла Лебега. У дискретних випадках симетричне нечітке вимірювання призведе до появи оператора впорядкованого зваженого усереднення[en] (ВЗУ). Субмодулярні нечіткі міри призводять до появи опуклих функцій, тоді як надмодулярні нечіткі міри призводять до появи увігнутих функцій, коли вони використовуються для визначення інтеграла Хоке.
Представлення Мебіуса
Нехай g — нечітка міра, представлення Мебіуса g задається множинною функцією M, де для кожного ,
Еквівалентними аксіомами представлення Мебіуса є:
- .
- , для всіх та всіх
Нечітка міра у представлені Мебіуса M називається нормалізованою, якщо
Представлення Мебіуса може бути використано, щоб показати, які підгрупи X взаємодіють один з одним. Наприклад, адитивна нечітка міра має значення Мобіуса, які дорівнюють нулю, за винятком одиночних. Нечітке вимірювання g в стандартному поданні може бути відновлено з форми Мёбіуса за допомогою трансформації Зета:
Допущенне спрощення для нечітких мір
Нечіткі міри визначаються на півкільцях множин або монотоних класах , які можуть бути настільки ж гранулярними, як булеан X, і навіть, у дискретних випадках, число змінних може бути дуже великим, як 2|X|. З цієї причини, у контексті багатокритеріального аналізу рішень[en] та інших дисциплін, були запроваджені спрощення припущення щодо нечіткої міри, щоб визначити та використовувати їх менш обчислювально. Наприклад, коли ми кажемо, що нечітка міра є адитивною, буде мати місце рівність і значення нечіткої міри можуть бути оцінені з значень на X. Аналогічно, симетрична нечітка міра визначається однозначно |X| значеннями. Двома важливими нечіткими мірами, які можуть бути використані, Сугено або — нечітка міра і k-адитивні міри, введені Сугену[2] і Грабішем[3] відповідно.
λ-міра Сугено
— міра Сугено є особливим випадком нечітких мір, визначених ітераційно. Воно має таке визначення:
Визначення
Нехай — скінченна множина і нехай . — міра Сугено є функцією такою, що
- .
- якщо (альтернативно ) і то .
Як умова, значення g при однотонній множині називається щільністю і позначається . Крім того, ми маємо що задовольняє властивість
- .
Тахані і Келлер[4], а також Ванг і Клір показали, що коли відомі щільності, можна використовувати попередній поліном, щоб отримати значення однозначно.
k-адитивна нечітка міра
K-адитивна нечітка міра обмежує взаємодію між підмножинами до розміру . Це різко знижує кількість змінних, необхідних для визначення нечіткої міри, і оскільки k може бути будь-яким від 1 (в цьому випадку нечітка міра є адитивною) до X, це дозволяє досягти компромісу між здатністю до моделювання та простотою.
Визначення
Дискретна нечітка міра g на множині X називається k-адитивною () якщо її представлення Мебіуса дає , коли для будь-якого та існує підмножина F з елементами k, така що .
Індекси Шеплі та взаємодії
У теорії ігор значення Шеплі або просто «Шеплі» використовується для позначення ціни гри. Значення Шеплі можуть бути розраховані для нечітких заходів для того, щоб дати деяку вказівку на важливість кожного одиночного. У випадку адитивних нечітких вимірювань значення Шеплі буде таким же, як і кожне окреме.
Для даного нечіткої міри g і , індекс Шеплі для кожного є:
Значення Шеплі — вектор
Див. також
Примітки
- ↑ Gustave Choquet (1953). Theory of Capacities. Annales de l'Institut Fourier. 5: 131—295.
- ↑ M. Sugeno (1974). Theory of fuzzy integrals and its applications. Ph.D. thesis. Tokyo Institute of Technology, Tokyo, Japan.
- ↑ M. Grabisch (1997). k-order additive discrete fuzzy measures and their representation. Fuzzy Sets and Systems. 92 (2): 167—189. doi:10.1016/S0165-0114(97)00168-1.
- ↑ H. Tahani; J. Keller (1990). Information Fusion in Computer Vision Using the Fuzzy Integral. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetic. 20 (3): 733—741. doi:10.1109/21.57289.
{{cite journal}}
: Проігноровано невідомий параметр|last-author-amp=
(довідка)
- Beliakov, Pradera and Calvo, Aggregation Functions: A Guide for Practitioners, Springer, New York 2007.
- Wang, Zhenyuan, and, George J. Klir, Fuzzy Measure Theory, Plenum Press, New York, 1991.