Інтеграл Лебега

Розділи в
Математичному аналізі
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля
Диференціальне числ. Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Диференціювання складної функції Степінь Зворотня функція
Інтегральне числення Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний) Інтеграл Рімана Інтеграл Лебега Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Ряди Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбер Радикальна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторне числення Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Формула Остроградського Теорема Гріна Теорема Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізовані Теорія випадкових процесів Варіаційне числення

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, і на ньому визначена вимірна функція $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$.

Означення 1. Нехай $\,f$ — індикатор деякої вимірної множини $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, де $A\in {\mathcal {F}}$. Тоді інтеграл Лебега функції $\,f$ за означенням:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{X}f\,d\mu =\mu (A).$

Означення 2. Нехай $\,f$ — проста функція $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, де $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — скінченне розбиття $\,X$ на вимірні множини. Тоді

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$.

Означення 3. Нехай тепер $\,f$ — невід’ємна функція, тобто $f(x)\geq 0\;\forall x\in X$. Розглянемо всі прості функції $\,\{f_{s}\}$, такі ,що $f_{s}(x)\leq f(x)\;\forall x\in X$. Позначимо це сімейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від $f$ задається формулою:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$

Нарешті, якщо функція $f$ довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

$\,f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

де

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$.

Означення 4. Нехай $\,f$ — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$.

Означення 5. Нехай нарешті $A\in {\mathcal {F}}$ довільна вимірна множина. Тоді за означенням

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

де $\mathbf {1} _{A}(x)$ — індикатор-функція множини $A$.

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле $f(x)\equiv \mathbf {1} _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, задану на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$, де ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелівська σ-алгебра на $\,[0,1]$, а $\,m$ — міра Лебега. Ця функція набуває значення $\,1$ в раціональних точках і $\,0$ в ірраціональних. Легко побачити, що $\,f$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Дійсно, міра відрізка $[0,1]$ дорівнює 1, і так як множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює $1-0=1$.

Зауваження

• Так як $\,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, вимірна функція $\,f(x)$ інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли функція $\,|f(x)|$ інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується в відношенні інтеграла Рімана;
• В залежності від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом .
• Якщо функція визначена на ймовірносному просторі $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

• Інтеграл Лебега лінійний, тобто

$\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

де $a,b\in \mathbb {R}$ — довільні константи;

• Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо $0\leq f(x)\leq g(x)$ майже скрізь, і $\,g(x)$ інтегровна, то інтегровна і $\,f(x)$, і більш того

$0\leq \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leq \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$;

• Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо $\,f(x)=g(x)$ майже скрізь, то

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Інтеграл Бохнера;
• Лема Фату.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)