Інтеграл Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтеграл Лебега — це узагальнення інтегралу Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення[ред.ред. код]

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою , і на ньому визначена вимірна функція .

Означення 1. Нехай індикатор деякої вимірної множини , де . Тоді інтеграл Лебега функції за означенням:

Означення 2. Нехай проста функція , де , а — скінченне розбиття на вимірні множини. Тоді

.

Означення 3. Нехай тепер — невід’ємна функція, тобто . Розглянемо всі прості функції , такі ,що . Позначимо це сімейство . Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від задається формулою:

Нарешті, якщо функція довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

де

.

Означення 4. Нехай — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

.

Означення 5. Нехай нарешті довільна вимірна множина. Тоді за означенням

,

где індикатор-функція множини .

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо функцію Діріхле , задану на , де борелівська σ-алгебра на , а міра Лебега. Ця функція набуває значення в раціональних точках і в ірраціональних. Легко побачити, що не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, вона є простою функцією на просторі зі скінченною мірою, бо приймає тільки два значення, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

Дійсно, міра відрізка дорівнює 1, і так як множина раціональних чисел зліченна, то його міра дорівнює 0, значить міра ірраціональних чисел дорівнює .

Зауваження[ред.ред. код]

  • Так як , вимірна функція інтегровна за Лебегом тоді і тільки тоді, коли функція інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується в відношенні інтеграла Рімана;
  • В залежності від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом .
  • Якщо функція визначена на ймовірносному просторі і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега[ред.ред. код]

  • Інтеграл Лебега лінійний, тобто
,

де — довільні константи;

  • Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо майже скрізь, і інтегровна, то інтегровна і , і більш того
;
  • Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо майже скрізь, то
.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]