Міра Гаусдорфа

Міра Хаусдорфа — збірна назва класу мір, визначених на борелівській $\sigma$ -алгебрі ${\mathcal {B}}(X)$ метричного простору $X$ .

Визначення

Ф. Хаусдорф розглядав ^[1] деякий клас ${\mathcal {U}}$ відкритих множин $X$ , на якому визначив невід'ємну функцію $l=\{l(A)\mid A\in {\mathcal {U}}\}$ і

\lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},

де нижня межа береться по всіх скінченних або зліченних покриттях борелівської множини $B\subset X$ множинами з ${\mathcal {U}}$ з діаметром, що не перевищує $\varepsilon$ , тобто

B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}

і

\mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad n=1,\;2,\;\ldots

Мірою Хаусдорфа $\lambda$ , що визначається класом ${\mathcal {U}}$ і функцією $l$ , называється межа

\lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).

Приклади

Нехай ${\mathcal {U}}$ — сукупність всіх куль на $X$ , a $l(A)=(\mathrm {diam} \,A)^{\alpha }$ , де $\alpha >0$ . Тоді відповідна міра $\lambda$ буде називатися $\alpha$ -мірою Хаусдорфа. При $\alpha =1$ така міра буде називатися лінійною мірою Хаусдорфа, а при $\alpha =2$ — пласкою мірою Хаусдорфа.
Якщо $X=\mathbb {R} ^{n+1}$ , ${\mathcal {U}}$ — сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі $x_{n+1}$ и $l(A)$ рівна $n$ -мірному об'єму осьового перерізу циліндра $A\in {\mathcal {U}}$ , то відповідна міра Хаусдорфа називається циліндричною мірой.