Теорема Банаха — Штейнгауза

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Результат про властивості класів неперервних відображень, що діють на лінійних топологічних просторах.

Покладаємо, що і є топологічними векторними просторами;  — набір неперервних лінійних відображень із у , а  — множина усіх , що їх орбіти обмежені у .
Якщо тепер є множиною другої категорії[1] у , то і  — рівномірно неперерна[2][3][4].

Дамо також наступне формулювання, застосовне в багатьох часткових випадках:

Нехай, і  — повні метричні простори,  — набір неперервних лінійних відображень; також, .
Тоді [4].

Простір у точній верхній межі у другому формулюванні можна замінити на будь-яку підмножину другої категорії в . У принципі рівномірної обмеженості простори можна вважати локально опуклими[5] за умови  — бочковий простір[6]. Вкажемо тут означення бочкового простору. Множина  — збалансована, якщо (поелементне множення на скаляр); збалансована множина є поглинаючою, якщо . Тепер бочковий простір — той, у якому кожна замкнена збалансована поглинаюча опукла множина є околом нуля.

Теорема може бути доведена з використанням теореми Бера про категорії.


Див. також

Примітки

  1. =не є множиною першої категорії; інша назва — простір Бера
  2. тобто, для кожного околу нуля знайдеться окіл нуля , для якого . Рівносильно обмеженості у рівномірній топології.
  3. Rudin W., Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc. 1973 — p.43
  4. а б http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Banach-Steinhaus_theorem
  5. Тобто, в них будь-який окіл нуля містить опуклий окіл нуля.
  6. barrelled space