Теорема Банаха — Штейнгауза

Результат про властивості класів неперервних відображень, що діють на лінійних топологічних просторах.

Покладаємо, що $X$ і $Y$ є топологічними векторними просторами; $\Gamma$ — набір неперервних лінійних відображень із $X$ у $Y$, а $B$ — множина усіх $x\in X$, що їх орбіти $\Gamma :=\{\Lambda (x)|\Lambda \in \Gamma \}$ обмежені у $Y$.

Якщо тепер $B$ є множиною другої категорії у $X$, то $B=x$ і $\Gamma$ — рівномірно неперерна.

Дамо також наступне формулювання, застосовне в багатьох часткових випадках:

Нехай, $X$ і $Y$ — повні метричні простори, $\Gamma :=\{\Lambda |\Lambda :X\rightarrow Y\}$ — набір неперервних лінійних відображень; також, $\forall x\in X,\ {\underset {\Lambda \in \Gamma }{\sup }}\|\Lambda (x)\|<\infty$.

Тоді ${\underset {\Lambda \in \Gamma }{\sup }}\|\Lambda \|<\infty$.

Простір $X$ у точній верхній межі у другому формулюванні можна замінити на будь-яку підмножину другої категорії в $X$. У принципі рівномірної обмеженості простори можна вважати локально опуклими за умови $X$ — бочковий простір. Вкажемо тут означення бочкового простору. Множина $A$ — збалансована, якщо $\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\ |\alpha |\leq 1:\alpha A\subset A$ (поелементне множення на скаляр); збалансована множина є поглинаючою, якщо $\forall x\in X\ \exists \alpha :x\in \alpha A$. Тепер бочковий простір — той, у якому кожна замкнена збалансована поглинаюча опукла множина є околом нуля.

Теорема може бути доведена з використанням теореми Бера про категорії.

Див. також

• Множина першої категорії
• Теорема Банаха про обернений оператор
• Стефан Банах
• Гуго Штейнгауз
• Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха