Поле часток
В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.
Побудова
Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:
- Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.
Визначивши додавання і множення на елементах E наступним чином
- Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
- Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)
Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення.
Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається , дані класи називаються частками або дробами.
Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості :
- Скорочення дробу : для ненульового c , ;
- комутативність і асоціативність операцій ;
- існування нульового елемента для додавання:
- існування одиниці при множенні:
- існування елемента — оберненого при додаванні до ;
- існування елемента оберненого при множенні до ;
- Дистрибутивність множення відносно додавання :
Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам області цілісності відповідають елементи поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.
Приклади
- Полем часток для кільця цілих чисел є поле раціональних чисел .
- Нехай — кільце гаусових цілих чисел. Тоді — поле гаусових раціональних чисел.
- Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
- Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).
Див. також
Література
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)