Поле часток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Побудова[ред.ред. код]

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

  • Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Визначивши додавання і множення на елементах E наступним чином

  • Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
  • Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається , дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості :

  • Скорочення дробу : для ненульового c ,  ;
  • комутативність і асоціативність операцій ;
  • існування нульового елемента для додавання:
  • існування одиниці при множенні:
  • існування елемента — оберненого при додаванні до  ;
  • існування елемента оберненого при множенні до  ;

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам області цілісності відповідають елементи поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

Приклади[ред.ред. код]

  • Полем часток для кільця цілих чисел є поле раціональних чисел .
  • Нехай — кільце гаусових цілих чисел. Тоді — поле гаусових раціональних чисел.
  • Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
  • Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).

Література[ред.ред. код]