Поле часток

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Побудова

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Рефлексивність одержується безпосередньо оскільки (a , b) ~ (a , b) є рівносильним тому, що ab = ab. симетричність є наслідком комутативності поля адже ad = bc тоді й лише тоді, коли da = bc.

Якщо (a , b) ~ (c , d) то за означенням a = bcd^-1 і з (c , d) ~ (e , f) випливає e = cfd^-1. Відповідно, якщо виконуються ці дві еквівалентності одночасно, то: af = bcd^-1f = be, тож також (a , b) ~ (e , f) і відношення є транзитивним.

На множині E можна ввести додавання і множення:

Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення адже операції вд еквівалентних доданків чи множників даватимуть еквівалентні результати.

Якщо (a , b) ~ (a₁ , b₁) то bd (a₁d + b₁c) = a₁bd² + bd b₁c = ab₁d² + bd b₁c = b₁d (ad + bc) тобто також справедливою є і еквівалентність (a , b) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c , d).

Для множення, якщо (a , b) ~ (a₁ , b₁) то acb₁d = a₁cbd, тому також (a , b) · (c , d) ~ (a₁ , b₁) · (c , d).

Якщо (a , b) ~ (a₁ , b₁) і (c , d) ~ (c₁ , d₁) то з попереднього і з транзитивності і симетричності:

(a , b) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c₁ , d₁) , тому (a , b) + (c , d) ~ (a₁ , b₁) + (c₁ , d₁)

і аналогічно для множення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається ${\frac {a}{b}}$ , дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості:

Скорочення дробу : для ненульового c , ${\frac {ca}{cb}}={\frac {a}{b}}$ ;
комутативність і асоціативність операцій ;
існування нульового елемента ${\frac {0}{x}}$ для додавання:

{\frac {a}{b}}+{\frac {0}{x}}={\frac {ax}{bx}}={\frac {a}{b}}

існування одиниці ${\frac {x}{x}}$ при множенні:

{\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{c}}={\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}

існування елемента ${\frac {-a}{b}}$ — оберненого при додаванні до ${\frac {a}{b}}$ ;

{\frac {a}{b}}+{\frac {-a}{b}}={\frac {0}{b^{2}}}

існування елемента ${\frac {b}{a}}$ оберненого при множенні до ${\frac {a}{b}}$ ;

{\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{a}}={\frac {ab}{ab}}

Дистрибутивність множення відносно додавання :

{\frac {a}{b}}{\frac {e}{f}}+{\frac {c}{d}}{\frac {e}{f}}={\frac {aedf+cebf}{bfdf}}={\frac {(ad+cb)e}{bdf}}=({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}){\frac {e}{f}}

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам $a\in A$ області цілісності відповідають елементи ${\frac {a}{1}}$ поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

Приклади

Полем часток для кільця $\mathbb {Z}$ цілих чисел є поле $\mathbb {Q}$ раціональних чисел .
Нехай $R:={a+bi|a,b\in \mathbb {Z} }$ — кільце гаусових цілих чисел. Тоді $Quot(R)={c+di|c,d\in \mathbb {Q} }$ — поле гаусових раціональних чисел.
Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).