Поле часток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.

Побудова[ред.ред. код]

Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності:

  • Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.

Визначивши додавання і множення на елементах E наступним чином

  • Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd)
  • Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)

Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення.

Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається \frac{a}{b}, дані класи називаються частками або дробами.

Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості :

 \frac ab + \frac 0x = \frac{ax}{bx} = \frac ab
  • існування одиниці \frac{x}{x} при множенні:
 \frac ab \times  \frac cc = \frac{ac}{bc} = \frac ab
  • існування елемента \frac{-a}{b} — оберненого при додаванні до \frac{a}{b} ;
\frac{a}{b} + \frac{-a}{b} = \frac{0}{b^2}
  • існування елемента \frac{b}{a} оберненого при множенні до \frac{a}{b} ;
 \frac{a}{b}\times \frac{b}{a}= \frac{ab}{ab}
\frac{a}{b}\frac{e}{f} + \frac{c}{d}\frac{e}{f}=\frac{aedf + cebf}{bfdf} = \frac{(ad + cb)e}{bdf}=(\frac{a}{b}+ \frac{c}{d})\frac{e}{f}

Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам a \in A області цілісності відповідають елементи \frac{a}{1} поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.

Приклади[ред.ред. код]

  • Полем часток для кільця \Z цілих чисел є поле \Q раціональних чисел .
  • Нехай R := { a + b i | a,b \in \Z } — кільце гаусових цілих чисел. Тоді Quot(R) = {c + d i | c,d \in \Q} — поле гаусових раціональних чисел.
  • Поле часток для поля ізоморфне даному полю.
  • Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).

Література[ред.ред. код]