Клітка (теорія графів)

Граф Петерсена

Граф Хівуда

Граф Маꥳ

Граф Татта — Коксетера

Граф Гофмана — Синглтона

n-клітка — кубічний граф обхвату n з найменшим можливим числом вершин. Граф називається кубічним, якщо з кожної його вершини виходять 3 ребра. Обхват графа — це довжина найменшого циклу в ньому.

• 3-клітка — К₄, остов тетраедра, 4 вершини.
• 4-клітка — К_3,3, один з двох мінімальних не планарних графів, 6 вершин.
• 5-клітка — граф Петерсена, 10 вершин. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 2.
• 6-клітка — граф Хівуда, 14 вершин. Розбивається на 1-фактори (тобто, реберно розфарбовуємий), будь-яка сума двох чинників утворює гамільтонів цикл. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 3.
• 7-клітка — граф Маꥳ, 24 вершини. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 8.
• 8-клітка — граф Татта — Коксетера, 30 вершин.

Узагальнене визначення

(r,n)-клітка — регулярний граф ступеня r (тобто з кожної вершини якого виходить рівно r ребер) та обхвату n з найменшим можливим числом вершин.

Тривіальні сімейства

• (2,n)-клітками є, очевидно, циклічні графи C_n
• (r-1,3)-клітки — повні графи К_r з r вершин
• (r,4)-клітки — повні дводольні графи К_r,r, у яких в кожній долі знаходиться по r вершин

Нетривіальні представники

• (7,5)-клітка — граф Гофмана-Сінглтона, 50 вершин.

Відомі ще деякі клітки. У таблиці нижче показано кількість вершин в (r,n)-клітинах ступеня 3≤r≤7 та обхвату 3≤n≤12. Клітки для цих та великих r и n описані тут: [1] (англійською мовою).

n:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
r = 3:	4	6	10	14	24	30	58	70	112	126
r = 4:	5	8	19	26	67	80	275	384		728
r = 5:	6	10	30	42	152	170				2730
r = 6:	7	12	40	62	294	312				7812
r = 7:	8	14	50	90

Графи Мура

Кількість вершин в (r,n)-клітці більше або дорівнює

$1+r\sum _{i=0}^{(n-3)/2}(r-1)^{i}$ для непарних n та

$2\sum _{i=0}^{(n-2)/2}(r-1)^{i}$ для парних.

Якщо має місце рівність, то відповідний граф називається графом Мура. У той час як клітка існує для будь-яких r > 2 і n > 2, нетривіальних графів Мура набагато менше. З вищезгаданих клітин, графами Мура є граф Петерсена, граф Хівуда, граф Татта — Коксетера і граф Гофмана — Синглтона. Доведено, що всі непарні випадки вичерпуються n = 5, r = 2, 3, 7 та, можливо, 57, а парні n = 6, 8, 12.

Література

• Ф. Харари Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с — ISBN 5-354-00301-6.

Посилання

• Biggs, Norman (1993), Algebraic Graph Theory (вид. 2nd), Cambridge Mathematical Library, с. 180—190, ISBN 0-521-45897-8.
• Bollobás, Béla; Szemerédi, Endre (2002), Girth of sparse graphs, Journal of Graph Theory, 39 (3): 194—200, doi:10.1002/jgt.10023, MR 1883596.
• Exoo, G; Jajcay, R (2008), Dynamic Cage Survey, Dynamic Surveys, Electronic Journal of Combinatorics, DS16, архів оригіналу за 1 січня 2015, процитовано 28 червня 2016.
• Erdős, Paul; Rényi, Alfréd; Sós, Vera T. (1966), On a problem of graph theory (PDF), Studia Sci. Math. Hungar., 1: 215—235, архів оригіналу (PDF) за 9 березня 2016, процитовано 28 червня 2016.
• Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (1990), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Academic Press, с. 77–81, ISBN 0-12-328552-6.
• Holton, D. A.; Sheehan, J. (1993), The Petersen Graph, Cambridge University Press, с. 183—213, ISBN 0-521-43594-3.
• Lubotzky, A.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988), Ramanujan graphs, Combinatorica, 8 (3): 261—277, doi:10.1007/BF02126799, MR 0963118.
• Tutte, W. T. (1947), A family of cubical graphs, Proc. Cambridge Philos. Soc., 43 (4): 459—474, doi:10.1017/S0305004100023720.

Посилання

• Brouwer, Andries E. Cages(англ.)
• Royle, Gordon. Cubic Cages and Higher valency cages(англ.)
• Weisstein, Eric W. Cage Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.