Теорема Птолемея

До теореми Птолемея.

Це не вписаний чотирикутник, через що рівність не справджується.

Теорема Птолемея — теорема елементарної геометрії, яка стверджує, що добуток довжин діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків довжин його протилежних сторін.

Тобто:

$\mid {AC}\mid \cdot \mid {BD}\mid =\mid {AB}\mid \cdot \mid {CD}\mid +\mid {BC}\mid \cdot \mid {AD}\mid$

Нерівність Птолемея

Нерівність Птолемея, як узагальнення теореми, стверджує, що для кожного чотирикутника ABCD справджується:

$\mid {AB}\mid \cdot \mid {CD}\mid +\mid {BC}\mid \cdot \mid {DA}\mid \geq \mid {AC}\mid \cdot \mid {BD}\mid$

де рівність досягається лише у випадку вписаного в коло чотирикутника.

Нерівність також справджується для трикутної піраміди.

Див. також

• Описане коло
• Теорема Кейсі — узагальнення теореми Птолемея

Інтернет-ресурси

• Теорема Птолемея

Посилання

• MathPages — On Ptolemy's Theorem
• Elert, Glenn (1994). Ptolemy's Table of Chords. E-World. Архів оригіналу за 7 липня 2013. Процитовано 2 травня 2010.
• Ptolemy's Theorem at cut-the-knot
• Compound angle proof at cut-the-knot
• Ptolemy's Theorem on PlanetMath
• Ptolemy Inequality on MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium at Harvard.
• Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit
• Ptolemy's Theorem
• Book XIII of Euclid's Elements