Числа Бернуллі
Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел:
- ,
де — Біноміальний коефіцієнт.
Формула для чисел Бернуллі
Для чисел Бернуллі існує наступна рекурентна формула:
Властивості
- Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім , дорівнюють нулю, знаки міняються.
- Числа Бернуллі є значеннями при многочленів Бернуллі: .
Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:
- Експоненційна генератриса для чисел Бернуллі:
- ,
- ,
- .
- Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана при парних :
- Із чого випливає
- для всіх n.
У математиці, числа Бернуллі Bn є послідовністю раціональних чисел, яка глибоко пов'язана з теорією чисел. Вони тісно пов'язані зі значеннями дзета-функції Рімана для від'ємних аргументів.
Є кілька означень для чисел Бернуллі. Найпоширенішим є Bn = 0 для всіх непарних n, крім 1 і B1 = −1/2, але деякі автори використовують B1 = +1/2 і деякі пишуть Bn для B2n. Значення перших ненульових чисел Бернуллі (більше значень нижче):
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Bn | 1 | −1/2 | 1/6 | 0 | −1/30 | 0 | 1/42 | 0 | −1/30 | 0 | 5/66 | 0 | −691/2730 | 0 | 7/6 |
Числа Бернуллі були відкриті приблизно в однаковий час швейцарським математиком Якобом Бернуллі, в честь якого вони названі, і незалежно японським математиком Секі Такакадзу. Відкриття Секі було опубліковане посмертно в 1712 році [1][2] у своїй роботі Katsuyo Sampo; Бернуллі, також посмертно, у своєму Ars Conjectandi[en] 1713 року.
Вони з'являються в розкладі в ряд Тейлора функцій тангенса і гіперболічного тангенса, у формулі Ейлера — Маклорена, і у виразах для деяких значень дзета-функції Рімана.
Значення чисел Бернуллі
BN = 0 для всіх непарних N', відмінне від 1. B 1 = 1 / 2 або −1 / 2 в залежності від прийнятої конвенції (див. вище).
Примітки
Література
- Абрамович В. Числа Бернуллі, Квант, № 6, 1974;
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |