-матриця Вігнера є матрицею незвідного представлення груп SU (2) і SO (3). Комплексне спряження
-матриці є власною функцією гамільтоніана сферичних і симетричних жорстких ротаторів. Матриця була введена в 1927 році Юджином Вігнером.
Нехай
,
,
утворюють алгебри Лі
і
. У квантовій механіці ці три оператори є компонентами векторного оператора відомого як кутовий момент. Прикладами можуть служити момент електрона в атомі, електронний спін і момент кількості руху жорсткого ротатора. У всіх випадках три оператори задовольняють наступним комутаційним співвідношенням
![{\displaystyle [J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},\;J_{z}]=iJ_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8029e0256a267227d0bd0b09458e3e2f384d115)
де
це уявна одиниця і стала Планка
задана рівною одиниці. Оператор
![{\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1335a7eaecf80587621548a6d7f8fe69593acc)
є оператором Казиміра з
(або
, в залежності від обставин). Він може бути діагоналізований разом з
(вибір цього оператора визначається угодою), який комутує з
. Тобто, можна показати, що існує повний набір кетів з
![{\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dcc616da854cd6c6a37bd746d0893ad61ae731)
де
і
. Для
квантове число
є цілим.
Оператор повороту можна записати у вигляді
![{\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\alpha J_{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee02e15a086d047d77b722d257488e144113a346)
де
— кути Ейлера.
-матриця Вігнера є квадратною матрицею розмірності
із загальним елементом
![{\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db70f6d4848a04884f775f4862fe247647f5bbb)
Матриця з загальним елементом
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07bdf2686277052eca7bd46312151e912fa69836)
відома як мала
-матриця Вігнера.
для
![{\displaystyle d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee46158edd4bf1a004cced5c22f9f47348a1dfa7)
![{\displaystyle d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4877bb80533a0aee750b1b7164342e52caf8897e)
для
![{\displaystyle d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fdb48e0264b06674357e38dd2335d7b330459d)
![{\displaystyle d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fb233182c942f1f2ff688ecf936c727b3a552b)
![{\displaystyle d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6dbaf8336bf7b0228391cbc7cb5656573b44acd)
![{\displaystyle d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db158ac7cac02706406d9569ccdffce95195473)
для
![{\displaystyle d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bc08514d3bcfe92fe113ca66eec3a5394b6eeb)
![{\displaystyle d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490f864cd8e4cf5e9cd71da8ba99467e20adadce)
![{\displaystyle d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e8798f5ee1a163673c80e93663ff5d842a6c60)
![{\displaystyle d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/780d36130b710a264a7ffd09720112927f2ba1a5)
![{\displaystyle d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584957bca871d6b9b7f71a5d6fbfb0c9acd2ef79)
![{\displaystyle d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b873ead2caaabb05433a2b1ea3e7137b542c7f)
для
[1]
![{\displaystyle d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fefea45c741ce1cb5a6702bac3ccf04945977b)
![{\displaystyle d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c47bcdfc9e2454b67581196004214563735fce)
![{\displaystyle d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9ee35f549ca3e44ae685e168f850f5390e2089)
![{\displaystyle d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8056102cd81d2c4ad473ab1b495127c06ab1c733)
![{\displaystyle d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1bd947f02694eba6511d62945ffe2859155258)
![{\displaystyle d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79606e1c300eab481c55b71cecb56262edae2694)
![{\displaystyle d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318570518a9ae2897af45ebf90eb5b64b08532ce)
![{\displaystyle d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfd09bc1279c118d17107b987059bc2427f4e72)
![{\displaystyle d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f99954fa5d11fdda5c66fa85f613417aeac701e)
Елементи
-матриці Вігнера із зворотними нижніми індексами знаходяться за наступним співвідношенням:
.
- ↑ Edén, M. (2003). Computer simulations in solid-state NMR. I. Spin dynamics theory. Concepts Magn. Reson. 17A (1): 117—154. doi:10.1002/cmr.a.10061.