Уявна одиниця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Уявна одиниця i \, — число, що при піднесенні до квадрату дає від'ємну одиницю:

 i^2 = -1 \

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця[ред.ред. код]

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є i \ , то іншим розв'язком буде -i \ , бо справджується наступна рівність:

 (-i)^2 = (-1 \cdot i) \cdot (-1 \cdot i) = (-1 \cdot (-1)) \cdot (i \cdot i) = 1 \cdot i^2 = i^2 = -1 \ .

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, яке саме з двох розв'язків рівняння  i^2 = -1 \ позначатиметься i \ , а яке -i \ .

Степені уявної одиниці[ред.ред. код]

Степені i повторюються в циклі:

\ldots
i^{-3} = i\,
i^{-2} = -1\,
i^{-1} = -i\,
i^0 = 1\,
i^1 = i\,
i^2 = -1\,
i^3 = -i\,
i^4 = 1\,
\ldots

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

i^{4n} = 1\,
i^{4n+1} = i\,
i^{4n+2} = -1\,
i^{4n+3} = -i.\,

де n — будь-яке ціле число.

Звідси: i^n = i^{n \bmod 4}\, де mod 4 — це залишок від ділення на 4.

Число i^i є дійсним:

i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots[1]

Факторіал[ред.ред. код]

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.

Також

|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .[2]

Коріння з уявної одиниці[ред.ред. код]

В поле комплексних чисел корінь n-го ступеня має n рішень. На комплексній площині коріння з уявної одиниці знаходяться в вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло з одиничним радіусом.

u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Це випливає з формули Муавра і того, що уявна одиниця може бути представлена в тригонометричному вигляді:

i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}

Зокрема, \sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\} и \sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}

Також коріння з уявної одиниці можуть бути представлені в показовому вигляді:

u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

Дивись[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
  • Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)