Уявна одиниця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Уявна одиниця  — число, що при піднесенні до квадрату дає від'ємну одиницю:

Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.

Уявна одиниця та від'ємна уявна одиниця[ред.ред. код]

Наведене вище рівняння має два розв'язки. Якщо один з них є , то іншим розв'язком буде , бо справджується наступна рівність:

Таким чином, виникає неоднозначність означення комплексного числа. Проте, хоча ці два числа не рівні між собою, для математики не існує різниці у тому, яке саме з двох розв'язків рівняння позначатиметься , а яке .

Степені уявної одиниці[ред.ред. код]

Степені  повторюються в циклі:

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

де n — будь-яке ціле число.

Звідси: де mod 4 — це залишок від ділення на 4.

Число є дійсним:

[1]

Факторіал[ред.ред. код]

Факторіал уявної одиниці i можна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1 + i:

Також

[2]

Корені з уявної одиниці[ред.ред. код]

В поле комплексних чисел корінь n-го ступеня має n рішень. На комплексній площині коріння з уявної одиниці знаходяться в вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло з одиничним радіусом.

Це випливає з формули Муавра і того, що уявна одиниця може бути представлена в тригонометричному вигляді:

Зокрема, и

Також коріння з уявної одиниці можуть бути представлені в показовому вигляді:

Дивись[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)
  • Лаврентьев М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва : Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 736 с.(рос.)