Гіперболічна нерухома точка

Гіперболі́чна нерухо́ма то́чка (гіперболі́чна то́чка) — фундаментальне поняття, що використовується в теорії динамічних систем стосовно відображень (дифеоморфізмів) і векторних полів. У разі відображення гіперболічною точкою називають нерухому точку, в якій усі мультиплікатори $\mu _{i}$ (власні числа лінеаризації відображення в даній точці) за модулем відмінні від одиниці. У разі векторних полів гіперболічною точкою називають особливу точку, в якій усі власні числа лінеаризації поля $\lambda _{i}$ мають ненульові дійсні частини.

Найпростіший приклад гіперболічної особливої точки векторного поля — сідло.

Стійкий та нестійкий многовиди

У гіперболічній точці векторного поля (або дифеоморфізму) дотичний простір розкладається в пряму суму двох інваріантних підпросторів $T^{u}$ і $T^{s}$, інваріантних відносно оператора лінійної частини поля: $\mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}$. Підпростори $T^{u}$ і $T^{s}$ визначаються відповідно умовами $\operatorname {Re} \lambda _{i}>0$, $\operatorname {Re} \lambda _{i}<0$ у разі векторних полів та умовами $|\mu _{i}|>1$, $|\mu _{i}|<1$ у разі дифеоморфізмів. Ці підпростори є інваріантними многовидами лінеаризованого векторного поля (дифеоморфізму) у цій точці, вони називаються його нестійким та стійким відповідно.

Нестійким та стійким многовидами початкового нелінійного векторного поля (дифеоморфізму) називають його інваріантні многовиди $W^{u}$ і $W^{s}$, що дотикаються відповідно до підпросторів $T^{u}$ і $T^{s}$ у точці, що розглядається, і мають ті ж розмірності, що $T^{u}$ і $T^{s}$. Многовиди $W^{u}$ і $W^{s}$ визначаються в єдиний спосіб. Зазначимо, що мнгоговиди $W^{u}$ і $W^{s}$ існують у випадку гіперболічних особливих точок, проте у разі гіперболічної точки сума їх розмірностей дорівнює розмірності всього простору, й інших інваріантних многовидів, які проходять через цю особливу точку, немає.

Теореми про гіперболічні точки

Теорема Гробмана — Гартмана. В околі гіперболічної точки нелінійного дифеоморфізму (векторного поля) динаміка відрізняється від такої для відповідного лінійного відображення (векторного поля) неперервною заміною координат.

Теорема Адамара — Перрона. В околі гіперболічної точки гладкого (або аналітичного) векторного поля або дифеоморфізму існують нестійкий та стійкий многовиди $W^{u}$ і $W^{s}$ такого ж класу гладкості (відповідно, аналітичні), що проходять через цю точку.

Теорема Ченя. Якщо в околі гіперболічної точки два $C^{\infty }$-гладкі векторні поля (дифеоморфізм) формально еквівалентні (тобто, переводяться один в одного формальною заміною змінних, заданою формальними степеневими рядами), то вони $C^{\infty }$-гладко еквівалентні.

Див. також

• Диффеоморфізм Аносова
• Гіперболічна множина
• Центральний многовид

Література

• Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории. — М. : Физматлит, 1995. — С. 137.
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М. : Мир, 1980.
• Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М. : МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.